已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=12,an+2SnSn-1=0(n≥2).(1)判断{1Sn}是否为等差数列?并证明你的结论;(2)求Sn和an;
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=12,an+2SnSn-1=0(n≥2).(1)判断{1Sn}是否为等差数列?并证明你的结论;(2)求Sn和an;
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足a
1
=
1
2
,a
n
+2S
n
S
n-1
=0(n≥2).
(1)判断
{
1
S
n
}
是否为等差数列?并证明你的结论;
(2)求S
n
和a
n
;
(3)求证:
S
1
2
+
S
2
2
+…+
S
n
2
≤
1
2
-
1
4n
.
答案
(1)S
1
=a
1
=
1
2
,∴
1
S
1
=2
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=-2S
n
S
n-1
,∴
1
S
n
-
1
S
n-1
=2
∴
{
1
S
n
}
为等差数列,首项为2,公差为2…(4分)
(2)由(1)知
1
S
n
=2+(n-1)×2=2n,∴
S
n
=
1
2n
…(6分)
当n≥2时,
a
n
=-2
S
n
S
n-1
=-2•
1
2n
•
1
2(n-1)
=-
1
2n(n-1)
∴
a
n
=
1
2
n=1
-
1
2n(n-1)
n≥2,n∈N
…(9分)
(3)
S
1
2
+…+
S
n
2
=
1
4
(
1
1
2
+
1
2
2
+…+
1
n
2
)≤
1
4
(1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n
)
=
1
4
(1+1-
1
2
+…+
1
n-1
-
1
n
)
=
1
4
(2-
1
n
)=
1
2
-
1
4n
…(13分)
举一反三
已知在等差数列{a
n
}中,d>0,a
2008
、a
2009
是方程x
2
-3x-5=0的两个根,那么使得前n项和S
n
<0的最大的n值是 .
题型:不详
难度:
|
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有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,a
3
、a
15
是方程x
2
-6x-1=0的两根,则a
7
+a
8
+a
9
+a
10
+a
11
=______.
题型:不详
难度:
|
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三个数成等差数列,它们的和等于18,它们的平方和等于116,则这三个数为______.
题型:不详
难度:
|
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四个数成等差数列,其平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数.
题型:不详
难度:
|
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