已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列.(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)证明数列{an-2}为等比数列;(Ⅲ)求数列{na
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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列. (Ⅰ)求a2,a3; (Ⅱ)证明数列{an-2}为等比数列; (Ⅲ)求数列{nan}的前n项和Tn. |
答案
(Ⅰ)∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列, ∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,即an+1=,(3分) ∵a1=1,∴a2=, a3=;(5分) (Ⅱ)证明:由题意,得a1-2=-1,∵==, ∴{an-2}是首项为-1,公比为的等比数列;(9分) (Ⅲ)由(Ⅱ)得an-2=-()n-1,∴nan=2n-n•()n-1,(10分) ∴Tn=(2-1)+(4-2•)+[6-3•()2]++[2n-n•()n-1], ∴Tn=(2+4+6++2n)-[1+2•+3•()2++n•()n-1], 设An=1+2•+3•()2++n•()n-1① ∴An=+2•()2+3•()3++n•()n,② 由①-②,得An=1++()2++()n-1-n•()n, ∴An=-n•()n,∴An=4-(n+2)•()n-1, ∴Tn=+(n+2)•()n-1-4=(n+2)•()n-1+n(n+1)-4.(14分) |
举一反三
根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为:x1,x2,…,xn,…,x2008;y1,y2,…,yn,…,y2008. (1)①写出x1,x2,x3,x4,②求数列{xn}的通项公式xn; (2)写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn,并证明你的结论. |
等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( ) |
已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a1=( ) |
在等差数列{an}中,a6+a8=6,则数列{an}的前13项之和为( ) |
已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为( ) |
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