已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)-3(1)求f(1)的值;(2)求证:f(x)+f(1x)=6(
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已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)-3(1)求f(1)的值;(2)求证:f(x)+f(1x)=6(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)-3
(1)求f(1)的值;
(2)求证:
f(x)+f(
1
x
)=6(x>0)
;
(3)若x>1时,f(x)<3,判断f(x)在其定义域上的单调性,并证明.
答案
(1)由已知已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),因此令x=y=1得
f(1•1)=f(1)+f(1)-3,可得:
f(1)=3 (2分)
(2)由已知以及(1)的结论可得
f(1)=f(x•
1
x
)
=
f(x)+f(
1
x
)-3
=3
即有:
f(x)+f(
1
x
)=6(x>0)
(7分)
(3)f(x)是(0,+∞)上的减函数(9分),证明如下:
设x
1
,x
2
∈(0,+∞)且x
1
<x
2
,
∵
x
2
x
1
>1,∴f(
x
2
x
1
)<3,f(
x
2
)+f(
1
x
1
)-3<3
,
f(
x
2
)<6-f(
1
x
1
)=f(
x
1
)
.
∴f(x)是(0,+∞)上的减函数. (14分)
举一反三
函数f(x)=cos2x-
3
sin2x的单调减区间为( )
A.[kπ+
π
6
,kπ+
2π
3
],k∈Z
B.[kπ-
7π
12
,kπ-
π
12
],k∈Z
C.[2kπ-
7π
12
,2kπ-
π
12
],k∈Z
D.[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
],k∈Z
题型:单选题
难度:简单
|
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函数
y=
2
x
2
-3x+1
的单调递减区间为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数f(x)=(2k+1)x在R上是增函数,则k范围是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
log
2
(1-x),x≤0
f(x-1)-f(x-2),x>0
,则f(2011)的值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知x∈
[
1
27
,
1
9
]
,函数f(x)=log
3
x
27
×lo
g
3
3x
(1)求函数f(x)最大值和最小值;
(2)若方程f(x)+m=0有两根α,β,试求αβ的值
题型:解答题
难度:一般
|
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