已知x∈[127，19]，函数f（x）=log3x27×log33x（1）求函数f（x）最大值和最小值；（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求αβ的值

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知x∈[

，

]，函数f（x）=log₃

×log33x
（1）求函数f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求αβ的值

答案

（1）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由x∈[

，

]得，t∈[-3，-2]
∴y=t²-2t-3，t∈[-3，-2]
当t=-3时，y_max=12
当t=-2时，y_min=5
（2）（log₃x）²-2log₃x-3+m=0，有两个根α、β
令log₃x=t，则t²-2t-3+m=0也有两根，不妨设t₁=log₃α，t₂=log₃β
则t₁+t₂=log₃α+log₃β=log₃（αβ）=2
∴αβ=9

举一反三

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：
①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；
②当x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明f（x）在R上是减函数；
（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围．

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函数f(x)=

x2+1

，则

f(2)

)

f(3)

)

f(4)

)

+…+

f(2009)

2009

)

=______．

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f（x）为（-1，1）上的奇函数且单调递减，若f（1-t）+f（1-t²）＞0求t的范围．

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阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数；如[-2]=-2，[-1.5]=-2，[2.5]=2；则[log2

]+[log2

]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为______．

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已知以下四个命题：
①如果x₁，x₂是一元二次方程的两个实根，且x₁＜x₂，那么不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x₁＜x＜x_2}；
②若f（x）是奇函数，则f（0）=0；
③若集合P={x|x=3m+1，m∈N⁺}，Q={x|x=5n+2，n∈N⁺}，则P∩Q={x|x=15m-8，m∈N^+}
④若函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中为真命题的是______（填上你认为正确的序号）．

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