已知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足2Sn=an2+an(n∈N*)。(Ⅰ)证明:{an}为等差数列;(Ⅱ)令,记{bn}的前n项和为Tn,求证:。

已知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足2Sn=an2+an(n∈N*)。(Ⅰ)证明:{an}为等差数列;(Ⅱ)令,记{bn}的前n项和为Tn,求证:。

题型:安徽省模拟题难度:来源:
已知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足2Sn=an2+an(n∈N*)。
(Ⅰ)证明:{an}为等差数列;
(Ⅱ)令,记{bn}的前n项和为Tn,求证:
答案

(Ⅰ)证明:∵

两式相减,得
整理,得

(常数),

,解得:
∴{an}是以1为首项,1为公差的等差数列。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,
即证:


当x∈(0,1),f′(x)>0,f(x)为单调递增函数;
当x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减函数;
在x=1处f(x)取得极大值,也取得最大值f(x)≤f(1)=0,即lnx-x+1≤0,

时,令,得




∴当n=1时,有
故结论成立。

举一反三
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n
(Ⅰ)设,证明:数列{bn}是等差数列;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn
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