已知常数a、b都是正整数,函数f(x)=xbx+1(x>0),数列{an}满足a1=a,1an+1=f(1an)(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2
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已知常数a、b都是正整数,函数f(x)=xbx+1(x>0),数列{an}满足a1=a,1an+1=f(1an)(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2
题型:不详
难度:
来源:
已知常数a、b都是正整数,函数
f(x)=
x
bx+1
(x>0),数列{a
n
}满足a
1
=a,
1
a
n+1
=f(
1
a
n
)
(n∈N
*
)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若a=8b,且等比数列{b
n
}同时满足:①b
1
=a
1
,b
2
=a
5
;②数列{b
n
}的每一项都是数列{a
n
}中的某一项.试判断数列{b
n
}是有穷数列或是无穷数列,并简要说明理由;
(3)对问题(2)继续探究,若b
2
=a
m
(m>1,m是常数),当m取何正整数时,数列{b
n
}是有穷数列;当m取何正整数时,数列{b
n
}是无穷数列,并说明理由.
答案
(1)∵
1
a
n+1
=f(
1
a
n
)=
1
a
n
b
1
a
n
+1
=
1
a
n
+b
∴a
n+1
=a
n
+b,∴数列{a
n
}是以b为公差的等差数列
∵a
1
=a,∴a
n
=a+(n-1)b
(2)当a=8b时,a
n
=(n+7)b
∴b
1
=8b,b
2
=12b,∴
q=
3
2
,∴
b
n
=8b•(
3
2
)
n-1
∴b
3
=18b,b
4
=27b,
b
5
=
81
2
b
显然,
81
2
不是整数,即b
5
∉{a
n
},∴{b
n
}是项数最多为4的有穷数列
(3)∵b
2
=(m+7)b,∴
q=
m+7
8
,此时
b
n
=8(
m+7
8
)
n-1
b
i)当m=8k+1(k∈N)时,
m+7
8
=k+1
为正整数,
此时{b
n
}中每一项均为{a
n
}中的项,∴{b
n
}为无穷数列;
ii)当m=8k+5(k∈N)时,
m+7
8
=
2k+3
2
此时当n=1,2,3,4,
8(
2k+3
2
)
n-1
为大于8的正整数,
但n=5时,
8(
2k+3
2
)
4
不是正整数,∴此时{b
n
}是项数最多为4的有穷数列;
iii)当m=8k+2,+3,+4,+6,+7,+8(k∈N)时,
此时
m+7
8
为分母是4或8的最简分数,
只有当n=1,2时,
8(
2k+3
2
)
n-1
才是大于8的正整数,
而当n≥3时,
8(
2k+3
2
)
n-1
均为分数,∵{b
n
}仅有两项,∴此时{b
n
}不能构成等比数列.
举一反三
设数列{a
n
}是以2为首项,1为公差的等差数,{b
n
}是以1为首项,2为公比的等比数列,则b
a
1
+b
a
2
+b
a
3
+…+b
a
6
等于( )
A.78
B.84
C.124
D.126
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,a
3
=30,a
9
=90,则该数列的首项为______.
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}为等差数列,a
1
+a
3
+a
5
=15,a
4
=3,则公差等于( )
A.-1
B.-2
C.1
D.2
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}是等差数列,a
1
=2,a
9
=18,则a
5
=( )
A.20
B.18
C.16
D.10
题型:不详
难度:
|
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如果一个等差数列{a
n
}中,a
2
=3,a
7
=6,则它的公差是( )
A.
3
5
B.
5
3
C.-
3
5
D.-
5
3
题型:不详
难度:
|
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