(1)由题意得,2Sn=an2+an①, 当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1,…(1分) 当n≥2时,有2Sn-1=an-12+an-1②, ①式减去②式得,2an=an2-an-12+an-an-1 于是,an2-an-12=an+an-1,(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1,…(2分) 因为an+an-1>0,所以an-an-1=1, 所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,…(3分) 所以{an}的通项公式为an=n(n∈N*).…(4分) (2)设存在满足条件的正整数m, 则-1005>,>1005,n>2010,…(6分) 又M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998}, 所以m=2010,2012,…,2998均满足条件, 它们组成首项为2010,公差为2的等差数列.…(8分) 设共有k个满足条件的正整数, 则2010+2(k-1)=2998,解得k=495.…(10分) 所以,M中满足条件的正整数m存在, 共有495个,m的最小值为2010.…(12分) (3)设un=,即un=,…(15分), 则u1+u2+…+un=++…+ =2[(1-)+(-)+…+(-)]=2(1-), 其极限存在,且(u1+u2+…+un)=[2(1-)]=2.…(18分) 注:un=(c为非零常数),un=()(c为非零常数), un=q(c为非零常数,0<|q|<1)等都能使(u1+u2+…+un)存在. |