已知数列{an}是公差为正的等差数列,其前n项和为Sn,点(n,Sn)在抛物线y=32x2+12x上;各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=116,b5=
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已知数列{an}是公差为正的等差数列,其前n项和为Sn,点(n,Sn)在抛物线y=32x2+12x上;各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=116,b5=
题型:南充三模
难度:
来源:
已知数列{a
n
}是公差为正的等差数列,其前n项和为S
n
,点(n,S
n
)在抛物线
y=
3
2
x
2
+
1
2
x
上;各项都为正数的等比数列{b
n
}满足
b
1
b
3
=
1
16
,
b
5
=
1
32
.
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)记C
n
=a
n
b
n
,求数列{C
n
}的前n项和T
n
.
答案
(1)∵点(n,S
n
)在抛物线
y=
3
2
x
2
+
1
2
x
上,
∴
S
n
=
3
2
n
2
+
1
2
n
,
当n=1时,a
1
=S
1
=2…(1分)
当n≥2时,
S
n-1
=
3
2
(n-1)
2
+
1
2
(n-1)=
3
2
n
2
-
5
2
n+1
,
∴a
n
=S
n
-S
n-1
=3n-1…(3分)
∴数列{a
n
}是首项为2,公差为3的等差数列,
∴a
n
=3n-1…(4分)
又∵各项都为正数的等比数列{b
n
}满足
b
1
b
3
=
1
4
,
b
5
=
1
32
,
设等比数列{b
n
}的公比为q,
∴
b
2
=
b
1
q=
1
4
,
b
1
q
4
=
1
32
…(5分)
解得
b
1
=
1
2
,q=
1
2
…(6分)
∴
b
n
=(
1
2
)
n
…(7分)
(2)由(1)可知
C
n
=(3n-1)•(
1
2
)
n
…(8分)
∴
T
n
=2×
1
2
+5×(
1
2
)
2
+…+(3n-3)×(
1
2
)
n-1
+(3n-1)×(
1
2
)
n
…①…(9分)
∴
1
2
T
n
=2×(
1
2
)
2
+5×(
1
2
)
3
+…+(3n-3)×(
1
2
)
n
+(3n-1)×(
1
2
)
n+1
…②…(10分)
②-①知∴
1
2
T
n
=1+3[(
1
2
)
2
+(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n
]-(3n-1)×(
1
2
)
n+1
=
1+3×
1
4
[1-
(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(3n-1)×(
1
2
)
n+1
=
5
2
-3×(
1
2
)
n
-(3n-1)×(
1
2
)
n+1
…(12分)
∴
T
n
=5-
3n+5
2
n
…(13分)
举一反三
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,对一切正整数n,点P
n
(n,S
n
)都在函数f(x)=x
2
+2x的图象上,且过点P
n
(n,S
n
)的切线的斜率为k
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设Q={x|x=k
n
,n∈N*},R={x|x=2a,n∈N*},等差数列{c
n
}的任一项c
n
∈Q∩R,其中c
1
是Q∩R中的最小数,110<c
10
<115,求{c
n
}的通项公式.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列{a
n
}的公差大于0,且a
2
,a
5
是方程x
2
-12x+27=0的两根,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=
1-
b
n
2
(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)若c
n
=a
n
•b
n
,设数列{c
n
}的前n项和为T
n
,证明:T
n
<1.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}是等差数列,a
3
=10,a
6
=22,数列{b
n
}的前n项和是S
n
,且
S
n
+
1
3
b
n
=1
.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)求证:数列{b
n
}是等比数列.
题型:昌平区一模
难度:
|
查看答案
设正项数列{a
n
}的前n项和是S
n
,若{a
n
}和{
S
n
}都是等差数列,且公差相等,则a
1
+d=______.
题型:奉贤区二模
难度:
|
查看答案
将等差数列{a
n
}的所有项依次排列,并如下分组:(a
1
),(a
2
,a
3
),(a
4
,a
5
,a
6
,a
7
),…,其中第1组有1项,第2组有2项,第3组有4项,…,第n组有2
n-1
项,记T
n
为第n组中各项的和,已知T
3
=-48,T
4
=0,
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)求数列{T
n
}的通项公式;
(III)设数列{ T
n
}的前n项和为S
n
,求S
8
的值.
题型:河东区一模
难度:
|
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