已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列
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已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2a,n∈N*},等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式. |
答案
(1)因为点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上, 所以Sn=n2+2n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 当n=1时,an=3满足上式, 所以数列{an}的通项公式an=2n+1; (2)由f(x)=x2+2x求导得f′(x)=2x+2, ∴kn=2n+2,∴Q={x|x=2n+2,n∈N*},又R={x|x=4n+2,n∈N*}, 所以Q∩R=R,又cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,所以c1=6, 又{cn}是公差为4的倍数的等差数列, 所以令c10=4m+6,又110<c10<115,解得m=27, 所以c10=114,设等差数列{cn}的公差为d,则c10-c10=9d,d=12. 所以{cn}的通项公式cn=6+(n-1)×12=12n-6. |
举一反三
已知等差数列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若cn=an•bn,设数列{cn}的前n项和为Tn,证明:Tn<1. |
已知数列{an}是等差数列,a3=10,a6=22,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+bn=1. (I)求数列{an}的通项公式; (II)求证:数列{bn}是等比数列. |
设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a1+d=______. |
将等差数列{an}的所有项依次排列,并如下分组:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6,a7),…,其中第1组有1项,第2组有2项,第3组有4项,…,第n组有2n-1项,记Tn为第n组中各项的和,已知T3=-48,T4=0, (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{Tn}的通项公式; (III)设数列{ Tn }的前n项和为Sn,求S8的值. |
某厂产值第二年比第一年增长p%,第三年比第二年增长q%,又这两年的平均增长率为S%,则S与的大小关系是( ) |
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