数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和

题型：中山市模拟难度：来源：

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

lnnx

a 2n

，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．

答案

（1）由已知，对于任意n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
所以2S_n-1=a_n-1+a_n-1²②
①-②得，2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均为正数，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1∴a_n=n（n∈N^*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有bn=

lnnx

a 2n

≤

1

n2

，
∴Tn≤

1

12

+

1

22

++

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)•n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2
（3）由已知a2=

c

21

=2，∴c1=

2

，a3=

c

32

=3，∴c2=

3	3

，a4=

c

43

=4，∴c3=

4	4

，a5=

c

54

=5，∴c4=

5	5

，
易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞
猜想n≥2时，{c_n}是递减数列
令f(x)=

lnx

x

则f′(x)=

1-lnx

x2

，
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），知lncn=

ln(n+1)

n+1

∴n≥2时，{lnc_n}是递减数列，即{c_n}是递减数列，
又c₁＜c₂，
∴数列{c_n}中的最大项为c2=

3	3

．