在数列{an}中，a1=1，3ana n﹣1+an﹣a n﹣1=0（n≥2）（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项；（Ⅲ）若对任意n≥2的整数恒成立

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在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na _n﹣1+a_n﹣a _n﹣1=0（n≥2）
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）若对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）将3a_na _n﹣1+a_n﹣a _n﹣1=0（n≥2）
整理得：，
所以是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，所以．
（Ⅲ）若恒成立，即恒成立，整理得：．  
令，则可得 ．
因为n≥2，所以 ＞0，即{c_n}为单调递增数列，所以c₂最小，，
所以λ的取值范围为．