设f(x)=axx+a(a≠0),令a1=1,an+1=f(an),又bn=an•an+1,n∈N*(1)判断数列{1an}是等差数列还是等比数列并证明;(2)

设f(x)=axx+a(a≠0),令a1=1,an+1=f(an),又bn=an•an+1,n∈N*(1)判断数列{1an}是等差数列还是等比数列并证明;(2)

题型:不详难度:来源:
设f(x)=
ax
x+a
(a≠0),令a1=1,an+1=f(an),又bn=an•an+1,n∈N*
(1)判断数列{
1
an
}是等差数列还是等比数列并证明;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{bn}的前n项和.
答案
(1)由an+1=f(an)可得:an+1=
a•an
an+a

将其变形可得an•an+1=a(an-an+1),即
1
an+1
-
1
an
=
1
a

所以数列{
1
an
}是首项为1,公差为
1
a
的等差数列.
(2)由(1)可得
1
an
=1+(n-1)
1
a

所以
1
an
=
n-1+a
a
,即an=
a
n+a-1

所以数列{an}的通项公式为an=
a
n+a-1

(3)设Sn是数列{bn}的前n项和.
由(1)可得bn=an•an+1=a(an-an+1),
所以Sn=a(a1-an+1)=
na
n+a

所以数列{bn}的前n项和为
na
n+a
举一反三
等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28
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设Sn是等差数列{an}的前n项和,S6=36,Sn=324,Sn-6=144(n>6),则n等于______.
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Sn是等差数列{an}的前n项和,如果S10=120,那么a1+a10的值是(  )
A.12B.36C.24D.48
题型:不详难度:| 查看答案
秋末冬初,流感盛行,特别是甲型H1N1流感传染性强.重庆市某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an},已知a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈*),则该医院30天入院治疗甲流感的人数共有______.
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=18,Sn=240,an-4=30,则n=(  )
A.18B.17C.16D.15
题型:不详难度:| 查看答案
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