已知f(x)=4+1x2,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,1an+1)(n∈N*)在曲线y=f(x)上,且a1=1,an>0.(1)求数列{an}的
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已知f(x)=4+1x2,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,1an+1)(n∈N*)在曲线y=f(x)上,且a1=1,an>0.(1)求数列{an}的
题型:不详
难度:
来源:
已知
f(x)=
4+
1
x
2
,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点P
n
(a
n
,
1
a
n+1
)(n∈N
*
)在曲线y=f(x)上,且a
1
=1,a
n
>0.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)数列{b
n
}的首项b
1
=1,前n项和为T
n
,且
T
n+1
a
n
2
=
T
n
a
n+1
2
+16
n
2
-8n-3
,求数列{b
n
}的通项公式b
n
.
答案
(1)由题意知
1
a
n+1
=
4+
1
a
n
2
.
∴
1
a
n+1
2
=4+
1
a
n
2
.
∴
1
a
n+1
2
-
1
a
n
2
=4
,即{
1
a
n
2
}是等差数列.
∴
1
a
n
2
=
1
a
1
2
+4(n-1)=1+4n-4=4n-3.
∴
a
n
2
=
1
4n-3
.
又∵a
n
>0,
∴
a
n
=
1
4n-3
.
(2)由题设知(4n-3)T
n+1
=(4n+1)T
n
+(4n+1)(4n-3).
∴
T
n+1
4n+1
-
T
n
4n-3
=1
.
设
T
n
4n-3
=
c
n
,则上式变为c
n+1
-c
n
=1.
∴{c
n
}是等差数列.
∴c
n
=c
1
+n-1=
T
1
1
+n-1=b
1
+n-1=n.
∴
T
n
4n-3
=n
,即T
n
=n(4n-3)=4n
2
-3n.
∴当n=1时,b
n
=T
1
=1;
当n≥2时,b
n
=T
n
-T
n-1
=4n
2
-3n-4(n-1)
2
+3(n-1)=8n-7.
经验证n=1时也适合上式.
∴b
n
=8n-7(n∈N
*
).
举一反三
已知{a
n
}是公比为q的等比数列,且a
1
,a
3
,a
2
成等差数列.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)设{b
n
}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为S
n
,当n≥2时,比较S
n
与b
n
的大小,并说明理由.
题型:福建
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=
1
2
n-3(n∈
N
*
)
,设S
n
为{a
n
}的前n项和,则S
30
=______.
题型:静安区一模
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
12
=21,则a
2
+a
5
+a
8
+a
11
=______.
题型:江西
难度:
|
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若等差数列{a
n
}的项数n为奇数,则其奇数项之和与偶数项之和的比为( )
A.
n-1
n
B.
2n+1
n
C.
n+1
n-1
D.
2n+1
2n
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若a
2
=2,a
1
+a
5
=8,则S
6
=______.
题型:不详
难度:
|
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