(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系中,对于直线:和点记若<0,则称点被直线分隔.若曲

(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系中,对于直线:和点记若<0,则称点被直线分隔.若曲

题型:不详难度:来源:
(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中,对于直线和点<0,则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点,且曲线C上存在点被直线分隔,则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴求证:点被直线分隔;
⑵若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分割线.
答案
(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
解析

试题分析:本题属于新定义问题,(1)我们只要利用题设定义求出的值,若,则结论就可得证;(2)直线是曲线的分隔线,首先直线与曲线无交点,即直线方程与曲线方程联立方程组,方程组应无实解,方程组变形为,此方程就无实解,注意分类讨论,按二次项系数为0和不为0分类,然后在曲线上找到两点位于直线的两侧.则可得到所求范围;(3)首先求出轨迹的方程,化简为,过原点的直线中,当斜率存在时设其方程为,然后解方程组,变形为,这个方程有无实数解,直接判断不方便,可转化为判断函数的图象有无交点,而这可利用函数图象直接判断.是开口方向向上的二次函数,是幂函数,其图象一定有交点,因此直线不是的分隔线,过原点的直线还有一条就是,它显然与曲线无交点,又曲线上两点一定在直线两侧,故它是分隔线,结论得证.
试题解析:(1)由题得,,∴被直线分隔.
(2)由题得,直线与曲线无交点
无解
,∴.
又对任意的,点在曲线上,满足,被直线分隔,所以所求的范围是
(3)由题得,设,∴
化简得,点的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时,设方程为.
联立方程,.
,因为
所以方程有实解,直线与曲线有交点.直线不是曲线的分隔线.
②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为.
显然与曲线没有交点,又曲线上的两点对于直线满足,即点被直线分隔.所以直线分隔线.
综上所述,仅存在一条直线的分割线.
【考点】新定义,直线与曲线的公共点问题.
举一反三
(满分16分)如图:为保护河上古桥,规划建一座新桥,同时设立一个圆形保护区,规划要求,新桥与河岸垂直;保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆,且古桥两端到该圆上任一点的距离均不少于80,经测量,点位于点正北方向60处,点位于点正东方向170处,(为河岸),.

(1)求新桥的长;
(2)当多长时,圆形保护区的面积最大?
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,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的取值范围是(   )
A.B.C.D.

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已知,直线相交于点P,交y轴于点A,交x轴于点B
(1)证明:
(2)用m表示四边形OAPB的面积S,并求出S的最大值;
(3)设S=" f" (m), 求的单调区间.
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已知动点到定点的距离比到直线的距离小1.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)取上一点,任作弦,满足,则弦是否经过一个定点?若经过定点(设为点),请写出点的坐标,否则说明理由.
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直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(  ).
A.1B.-1
C.-2或-1D.-2或1

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