试题分析:本题属于新定义问题,(1)我们只要利用题设定义求出的值,若,则结论就可得证;(2)直线是曲线的分隔线,首先直线与曲线无交点,即直线方程与曲线方程联立方程组,方程组应无实解,方程组变形为,此方程就无实解,注意分类讨论,按二次项系数为0和不为0分类,然后在曲线上找到两点位于直线的两侧.则可得到所求范围;(3)首先求出轨迹的方程,化简为,过原点的直线中,当斜率存在时设其方程为,然后解方程组,变形为,这个方程有无实数解,直接判断不方便,可转化为判断函数与的图象有无交点,而这可利用函数图象直接判断.是开口方向向上的二次函数,是幂函数,其图象一定有交点,因此直线不是的分隔线,过原点的直线还有一条就是,它显然与曲线无交点,又曲线上两点一定在直线两侧,故它是分隔线,结论得证. 试题解析:(1)由题得,,∴被直线分隔. (2)由题得,直线与曲线无交点 即无解 ∴或,∴. 又对任意的,点和在曲线上,满足,被直线分隔,所以所求的范围是. (3)由题得,设,∴, 化简得,点的轨迹方程为 ①当过原点的直线斜率存在时,设方程为. 联立方程,. 令,因为, 所以方程有实解,直线与曲线有交点.直线不是曲线的分隔线. ②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为. 显然与曲线没有交点,又曲线上的两点对于直线满足,即点被直线分隔.所以直线是分隔线. 综上所述,仅存在一条直线是的分割线. 【考点】新定义,直线与曲线的公共点问题. |