已知数列{an}成等比数列,且an>0.(1)若a2-a1=8,a3=m.①当m=48时,求数列{an}的通项公式;②若数列{an}是唯一的,求m的值;(2)若
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已知数列{an}成等比数列,且an>0.(1)若a2-a1=8,a3=m.①当m=48时,求数列{an}的通项公式;②若数列{an}是唯一的,求m的值;(2)若
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}成等比数列,且a
n
>0.
(1)若a
2
-a
1
=8,a
3
=m.
①当m=48时,求数列{a
n
}的通项公式;
②若数列{a
n
}是唯一的,求m的值;
(2)若a
2k
+a
2k
-1
+ +a
k
+1
- (a
k
+a
k
-1
+ +a
1
)=8,k∈N*,求a
2k
+1
+a
2k
+2
+ +a
3k
的最小值.
答案
(1)①an=8(2-
)(3+
)n-1,或an=8(2+
)(3-
)n-1,②an=2n+2..(2)32..
解析
试题分析:(1)①确定等比数列通项,只需确定首项及等比,这需两个独立条件.由a2-a1=8,a3=m=48,得
解之,得
或
所以数列{an}的通项公式为an=8(2-
)(3+
)n-1,或an=8(2+
)(3-
)n-1.②正确理解数列{an}是唯一的的含义,即关于a1与q的方程组
有唯一正数解,即方程8q2-mq+m=0有唯一解.由△=m2-32m=0,a3=m>0,所以m=32,此时q=2.经检验,当m=32时,数列{an}唯一,其通项公式是an=2n+2.(2)由a2k+a2k-1+ +ak+1- (ak+ak-1+ +a1 )=8,得a1(qk-1)(qk-1+qk-2+ +1)=8,且q>1.a2k+1+a2k+2+ +a3k=a1q2k(qk-1+qk-2+ +1) =
=
≥32,当且仅当
,即q=
,a1=8(
-1)时,a2k+1+a2k+2+ +a3k的最小值为32.
解:设公比为q,则由题意,得q>0.
(1)①由a2-a1=8,a3=m=48,得
解之,得
或
所以数列{an}的通项公式为
an=8(2-
)(3+
)n-1,或an=8(2+
)(3-
)n-1. 5分
②要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于a1与q的方程组
有唯一正数解,即方程8q2-mq+m=0有唯一解.
由△=m2-32m=0,a3=m>0,所以m=32,此时q=2.
经检验,当m=32时,数列{an}唯一,其通项公式是an=2n+2. 10分
(2)由a2k+a2k-1+ +ak+1- (ak+ak-1+ +a1 )=8,
得a1(qk-1)(qk-1+qk-2+ +1)=8,且q>1. 13分
a2k+1+a2k+2+ +a3k=a1q2k(qk-1+qk-2+ +1)
=
=
≥32,
当且仅当
,即q=
,a1=8(
-1)时,
a2k+1+a2k+2+ +a3k的最小值为32. 16分
举一反三
在正项等比数列{a
n
}中,a
1
和a
19
为方程x
2
-10x+16=0的两根,则a
8
·a
12
=_____
题型:不详
难度:
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已知等比数列前
项和为
,若
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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公比为
的等比数列{a
n
}的各项都是正数,且a
3
a
11
=16,则log
2
a
16
=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
题型:不详
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已知各项不为零的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.
若m∈N
*
,且a
m
-1
+a
m
+1
-a
m
2
=0,S
2m
-1
=38,则m=________.
题型:不详
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已知等比数列
为递增数列,且
,
,则数列的通项公式
_______.
题型:不详
难度:
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