已知数列的前n项和为满足:.(1)求证:数列是等比数列;(2)令,对任意,是否存在正整数m,使都成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

已知数列的前n项和为满足:.(1)求证:数列是等比数列;(2)令,对任意,是否存在正整数m,使都成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

题型:不详难度:来源:
已知数列的前n项和为满足:
(1)求证:数列是等比数列;
(2)令,对任意,是否存在正整数m,使都成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)详见解析;(2)m的值为1,2,3.
解析

试题分析:(1)首先由题设找到间的关系,然后证明是一个常数.(2)首先求得
,由此得,用裂项法可求得和.由对任意都成立,得,即对任意都成立,所以 小于等于的最小值.
(1)当时,,解得, 1分
时,由,  2分
两式相减,得,即), 3分
,故数列是以为首项,公比为3的等比数列. 4分
(2)由(1)知
, 6分
所以, 7分
,  8分
对任意都成立,得, 10分
对任意都成立,又
所以m的值为1,2,3.                    .12分
举一反三
等比数列满足:对任意,则公比           .
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若正项等比数列满足:,则公比             .
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设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=(  )
A.﹣11B.﹣8C.5D.11

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已知向量,则数列{an}的前n项和为Sn=(  )
A.2n+1﹣2B.2﹣2n+1C.2n﹣1D.3n﹣1

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,则(       )
A.-85B.21C.43D.171

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