已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).(1)证明:数列{an}是等比数列;(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式. |
答案
(1)见解析 (2) bn=3×n-1-1(n∈N*). |
解析
解:(1)证明:由Sn=4an-3可知, 当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1. 因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2), 所以当n≥2时, an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 整理得an=an-1,又a1=1≠0, 所以{an}是首项为1,公比为的等比数列. (2)由(1)知an=n-1, 由bn+1=an+bn(n∈N*), 得bn+1-bn=n-1. 可得bn=b1+(b2-b1)+ (b3-b2)+…+(bn-bn-1) =2+=3×n-1-1(n≥2,n∈N*). 当n=1时上式也满足条件. 所以数列{bn}的通项公式为 bn=3×n-1-1(n∈N*). |
举一反三
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,数列{bn}是首项为1,公比为b的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. |
数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是_______. |
设a1=2,an+1=,bn=||,n∈N*,则数列{bn}的通项公式bn= . |
已知数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),求该数列的通项公式. |
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