试题分析:(Ⅰ)依次代入写出27,9,3;8,9,3;6,2,3. (Ⅱ)根据及须讨论被3除余1,,被3除余2,被3除余0,等三种情况. (Ⅲ)注意由已知递推关系推得数列满足: 当时,总有成立,其中. 因此应注意讨论当时,数列中大于3的各项: 按逆序排列各项,构成的数列记为,由(Ⅰ)可得或9, 由(Ⅱ)的证明过程即可知数列的项满足: ,且当是3的倍数时,若使最小,需使, 满足最小的数列中,或7,且, 得到数列是首项为或的公比为3的等比数列,应用等比数列的通项公式即可得出结论. 解答本题的关键是注意“转化”成等比数列问题. 试题解析:(Ⅰ)27,9,3;8,9,3;6,2,3. 3分 (Ⅱ)若被3除余1,则由已知可得,; 若被3除余2,则由已知可得,,; 若被3除余0,则由已知可得,; 所以, 所以 所以,对于数列中的任意一项,“若,则”. 因为,所以. 所以数列中必存在某一项(否则会与上述结论矛盾!) 若,则;若,则,若,则, 由递推关系易得. 8分 (Ⅲ)集合中元素个数的最大值为21. 由已知递推关系可推得数列满足: 当时,总有成立,其中. 下面考虑当时,数列中大于3的各项: 按逆序排列各项,构成的数列记为,由(I)可得或9, 由(Ⅱ)的证明过程可知数列的项满足: ,且当是3的倍数时,若使最小,需使, 所以,满足最小的数列中,或7,且, 所以,所以数列是首项为或的公比为3的等比数列, 所以或,即或, 因为,所以,当时,的最大值是6, 所以,所以集合重元素个数的最大值为21. 13分 |