在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:是等比数列；(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.

题型：不详难度：来源：

在数列中,,且对任意的都有.
(1)求证:是等比数列；
(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.

答案

（1）取倒数，则可知，陪凑变形来得到证明。
（2）

解析

试题分析：解:（1）根据题意，由于，，故结合等比数列的定义可知满足题意，故可知是等比数列。
(2)由(1)可得,即,,
于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”.
若记,则显然是单调递减的,故.
所以,实数的取值范围为. 12分
点评：解决的关键是根据数列的递推关系，以及数列的单调性来求解，属于基础题。