(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)已知数列{an}满足,(其中λ≠0且λ≠–1,n∈N*),为数列{an}的前项和.(1) 若,求的值
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(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)已知数列{an}满足,(其中λ≠0且λ≠–1,n∈N*),为数列{an}的前项和.(1) 若,求的值
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
已知数列{
a
n
}满足
,
(其中λ≠0且λ≠–1,
n
∈N*),
为数列{
a
n
}的前
项和.
(1) 若
,求
的值;
(2) 求数列{
a
n
}的通项公式
;
(3) 当
时,数列{
a
n
}中是否存在三项构成等差数列,若存在,请求出此三项;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
;(2)数列{
a
n
}中存在
a
1
、
a
2
、
a
3
或
a
3
、
a
2
、
a
1
成等差数列。
解析
试题分析:(1) 令
,得到
,令
,得到
。…………2分
由
,计算得
.……………………………………………………4分
(2) 由题意
,可得:
,所以有
,又
,……………………5分
得到:
,故数列
从第二项起是等比数列。……………7分
又因为
,所以
n
≥2时,
……………………………8分
所以数列{
a
n
}的通项
…………………………………10分
(3) 因为
所以
……………………………………11分
假设数列{
a
n
}中存在三项
a
m
、a
k
、a
p
成等差数列,
①不防设
m
>
k
>
p
≥2,因为当
n
≥2时,数列{
a
n
}单调递增,所以2
a
k
=a
m
+a
p
即:2´(
)´4
k
–2
=
´4
m
–2
+
´4
p
–2
,化简得:2´4
k - p
= 4
m
–
p
+1
即2
2
k–
2
p
+1
=2
2
m
–2
p
+1,若此式成立,必有:2
m
–
2
p
=0且2
k
–2
p
+1=1,
故有:
m=p=k
,和题设矛盾………………………………………………………………14分
②假设存在成等差数列的三项中包含
a
1
时,
不妨设
m
=1,
k
>
p
≥2且
a
k
>
a
p
,所以2
a
p
=
a
1
+
a
k
,
2´(
)´4
p
–2
= –
+ (
)´4
k
–2
,所以2´4
p–
2
= –2+4
k
–2
,即2
2
p
–4
= 2
2
k
–5
– 1
因为
k
>
p
≥ 2,所以当且仅当
k
=3且
p
=2时成立………………………………………16分
因此,数列{
a
n
}中存在
a
1
、
a
2
、
a
3
或
a
3
、
a
2
、
a
1
成等差数列……………………………18分
点评:本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式,还考查了一定的逻辑运算与推理的能力及考查了学生通过已知条件分析问题和解决问题的能力.题目较难。
举一反三
已知数列
是各项均为正数且公比不等于
的等比数列.对于函数
,若数列
为等差数列,则称函数
为“保比差数列函数”.现有定义在
上的如下函数:①
, ②
, ③
, ④
,
则为“保比差数列函数”的所有序号为( )
A.①②
B.③④
C.①②④
D.②③④
题型:不详
难度:
|
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设数列
是首相大于零的等比数列,则“
”是“数列
是递增数列”的_____条件.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)设数列
的前
项和为
,满足
,且
。
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)求数列
的通项公式;
(Ⅲ)设数列
的前
项和为
,且
,证明:对一切正整数
, 都有:
题型:不详
难度:
|
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设
,
,在
中,正数的个数是( )
A.25
B.50
C.75
D.100
题型:不详
难度:
|
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在∆ABC中,tanA是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB是以
为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.以上都不对
题型:不详
难度:
|
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