(1)由等比数列递增的性质得其首项为1,公比为4,可得到通项公式;(2)先由数列的前两项满足等式,求出;再写出,错位相减求出。即证出存在数列{bn},结论成立 (1)因为{an}是递增的等比数列,所以数列{an}的公比是正数, 又{a1,a3,a5}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},所以a1=1,a3=4,a5=16, 从而q2==4,q=2,an=a1qn-1=2n-1,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1, (2)假设存在满足条件的等差数列{bn},其公差为d.则当n=1时,a1b1=1, 又∵a1=1,∴b1=1; 当n=2时,a1b2+a2b1=4,b2+2b1=4,b2=2. 则d=b2-b1=1,∴bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n. 以下证明当bn=n时,a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立. 设Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1, 即Sn=1×n+2×(n-1)+22×(n-2)+23×(n-3)+…+2n-2×2+2n-1×1, ① 2Sn=2×n+22×(n-1)+23×(n-2)+…+2n-1×2+2n×1, ② ②-①得Sn=-n+2+22+23+…+2n-1+2n=-n+=2n+1-n-2, 所以存在等差数列{bn},bn=n,使得a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立. |