已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:an=f(an-1)(n=2,3,4,…),f(an)-f(an-1)=an-an-12(n=2,3,4
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已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:an=f(an-1)(n=2,3,4,…),f(an)-f(an-1)=an-an-12(n=2,3,4
题型:不详
难度:
来源:
已知定义在R上的函数f(x)和数列{a
n
}满足下列条件:a
n
=f(a
n-1
)(n=2,3,4,…),
f(
a
n
)-f(
a
n-1
)=
a
n
-
a
n-1
2
(n=2
,3,4,…),若a
1
=30,a
2
=60,令b
n
=a
n+1
-a
n
(n∈N
+
).
(I)证明数列{b
n
}是等比数列,并求数列{b
n
}的通项公式;
(II)设c
n
=log
2
b
n
,S
n
=c
1
+c
2
+c
3
+…+c
n
,求使S
n
取最大值时的n值.
答案
(I)∵b
n
=a
n+1
-a
n
,∴b
n+1
=a
n+2
-a
n+1
,
∴
b
n+1
b
n
=
a
n+2
-
a
n+1
a
n+1
-
a
n
=
f(
a
n+1
)-f(
a
n
)
a
n+1
-
a
n
=
a
n+1
-
a
n
2
a
n+1
-
a
n
=
1
2
∴数列{b
n
}是等比数列,
∵b
1
=a
2
-a
1
=30∴
b
n
=15•(
1
2
)
n-2
.
(II)c
n
=log
2
15+2-n,
∵c
n+1
-c
n
=-1,
∴数列{c
n
}是递减的等差数列,
令c
n
>0得n<2+log
2
15,∵log
2
15∈(3,4),
∴2+log
2
15∈(5,6)
∴数列{c
n
}的前5项都是正的,第6项开始全部是负的,
∴n=5时,S
n
取最大值.
举一反三
设{a
n
}是等比数列,S
n
为{a
n
}的前n项和,且
S
10
S
5
=
31
32
,则
a
5
a
2
=( )
A.-8
B.-
1
8
C.
1
8
D.8
题型:洛阳模拟
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,对任意n∈N
*
,都有a
n
=
2
3
(S
n
+n).
(1)求证:数列{a
n
+1}是等比数列,并求{a
n
}的通项公式.
(2)求数列{na
n
}的前n项和T
n
.
题型:惠州模拟
难度:
|
查看答案
设{a
n
}是公比为q的等比数列,令b
n
=a
n
+1(n=1,2,…),若数列{b
n
}的连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q等于( )
A.
-
3
4
或-
4
3
B.
-
3
2
或-
2
3
C.
-
3
2
D.
-
4
3
题型:河南模拟
难度:
|
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设无穷数列{a
n
}系:a
1
=1,2a
n+1
-a
n
=
n-2
n(n+1)(n+2)
(n≥1)
(1)求a
2
,a
3
(2)若b
n
=a
n
-
1
n(n+1)
,求证数列{b
n
}是等比数列
(3)若S
n
为数列{a
n
}前n项的和,求S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=log
2
x,设
f(
a
1
),f(
a
2
),f(
a
3
),…,f(
a
n
),…,(n∈
N
*
)
是首项和公差都等于1的等差数列.数列{b
n
}满足
b
n
=
a
n
+
3
n
(n∈
N
*
)
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式,并证明数列{b
n
}不是等比数列;
(2)令
c
n
=
2n-1
a
n
,S
n
=c
1
+c
2
+c
3
+…+c
n
,求证:S
n
<3.
题型:不详
难度:
|
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