已知函数f(x)=log2x,设f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an),…,(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列.数列{bn}满足bn=an+
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已知函数f(x)=log2x,设f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an),…,(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列.数列{bn}满足bn=an+
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=log
2
x,设
f(
a
1
),f(
a
2
),f(
a
3
),…,f(
a
n
),…,(n∈
N
*
)
是首项和公差都等于1的等差数列.数列{b
n
}满足
b
n
=
a
n
+
3
n
(n∈
N
*
)
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式,并证明数列{b
n
}不是等比数列;
(2)令
c
n
=
2n-1
a
n
,S
n
=c
1
+c
2
+c
3
+…+c
n
,求证:S
n
<3.
答案
(1)由题意可得 f(a
n
)=n=log
2
a
n
,∴
a
n
=
2
n
,故数列{a
n
}是等比数列.
假设数列{b
n
}是等比数列,
b
n
=
2
n
+
3
n
,则有
b
2
2
=
b
1
b
3
.
由因为
b
2
2
=1
3
2
,
b
1
b
3
=5×35
,∴
b
2
2
≠
b
1
b
3
,与假设矛盾,所以假设不成立.
∴数列{b
n
}不是等比数列.(6分)
(2)∵
c
n
=
2n-1
a
n
,S
n
=c
1
+c
2
+c
3
+…+c
n
,
∴
S
n
=
1
2
+
3
2
2
+
5
2
3
+…+
2n-3
2
n-1
+
2n-1
2
n
,…①
∴
1
2
S
n
=
1
2
2
+
3
2
3
+
5
2
4
+…+
2n-3
2
n
+
2n-1
2
n+1
,…②,
①-②得
1
2
S
n
=
1
2
+
2
2
2
+
2
2
3
+
2
2
4
+…+
2
2
n
-
2n-1
2
n+1
=
1
2
+(
1
2
1
+
1
2
2
+
1
2
3
+…+
2
2
n-1
)-
2n-1
2
n+1
=
1
2
+
1
2
[1-
(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-
2n-1
2
n+1
=
1
2
+1-
(
1
2
)
n-1
-
2n-1
2
n+1
=
3
2
-
2n+3
2
n+1
,
∴
S
n
=3-
2n+3
2
n
<3.(12分)
举一反三
已知数列{a
n
}是一个等差数列,且a
2
=1,a
5
=-5,
(1)求{a
n
}的通项公式a
n
和前n项和S
n
;
(2)设
C
n
=
5-
a
n
2
,
b
n
=
2
C
n
,证明数列{b
n
}是等比数列.
题型:肇庆一模
难度:
|
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把容量为100的某个样本数据分为10组,并填写频率分布表,若前七组的累积频率为0.79,而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列,则剩下三组中频数最高的一组的频数为______.
题型:不详
难度:
|
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已知a
1
=2,点(a
n
,a
n+1
)在函数f(x)=x
2
+2x的图象上,其中n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明数列{lg(1+a
n
)}是等比数列;
(Ⅱ)设T
n
=(1+a
1
)(1+a
2
)…(1+a
n
),求T
n
及数列{a
n
}的通项公式.
题型:丰台区二模
难度:
|
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已知{a
n
}是公差不为0的等差数列,它的前9项和S
9
=90,且a
2
,a
4
,a
8
成等比数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{a
n
}和{b
n
}满足等式:
a
n
=
b
1
3
+
b
2
3
2
+
b
3
3
3
+…+
b
n
3
n
(n为正整数),求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:越秀区模拟
难度:
|
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等比数列{a
n
}非常数列,其前n项和是S
n
,当S
3
=3a
3
时,则公比q的值为______.
题型:闵行区二模
难度:
|
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