已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,….(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(Ⅱ)设Tn=(1+
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已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,…. (Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项公式. |
答案
(Ⅰ)证明:由已知,得an+1=an2+2an, ∴an+1+1=(an+1)2. ∵a1=2,∴an+1>1. 两边取对数,得lg(an+1+1)=2lg(an+1), 即=2. 数列{lg(1+an)}是以lg3为首项, 公比为2的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 lg(an+1)=2n-1lg3=lg32n-1, ∴an+1=32n-1, ∴an=32n-1-1. ∴Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an) =3×321×322××32n-1 =31+2+22++2n-1=32n-1. |
举一反三
已知{an}是公差不为0的等差数列,它的前9项和S9=90,且a2,a4,a8成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}和{bn}满足等式:an=+++…+(n为正整数),求数列{bn}的前n项和Tn. |
等比数列{an}非常数列,其前n项和是Sn,当S3=3a3时,则公比q的值为______. |
已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设3nbn=n(3n-an),且|b1|+|b2|++|bn|<m对于n∈N*恒成立,求m的取值范围. |
已知等比数列{an}的公比q为正数,且a3•a9=2(a5)2,则q=( ) |
等比数列{cn}满足cn+1+cn=10•4n-1,n∈N*,数列{an}满足cn=2an (1)求{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn=,Tn为数列{bn}的前n项和.求Tn; (3)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由. |
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