已知数列{an}中,a1=1,anan+1=(13)n,(n∈N*),(1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}(n∈N*)都是等比数列;(2)求数列{an}前
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已知数列{an}中,a1=1,anan+1=(13)n,(n∈N*),(1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}(n∈N*)都是等比数列;(2)求数列{an}前
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}中,
a
1
=1,
a
n
a
n+1
=(
1
3
)
n
,(n∈
N
*
)
,
(1)求证:数列{a
2n
}与{a
2n-1
}(n∈N
*
)都是等比数列;
(2)求数列{a
n
}前2n的和T
2n
;
(3)若数列{a
n
}前2n的和为T
2n
,不等式81T
2n
•a
2n
≤2(1-ka
2n
)对(n∈N
*
)恒成立,求k的最大值.
答案
(1)∵
a
n
a
n+1
=(
1
3
)
n
,
∴
a
n+2
a
n
=
1
3
∴数列a
1
,a
3
,…a
2n-1
,是以1为首项,
1
3
为公比的等比数列;
数列a
2
,a
4
,…,a
2n
,是以
1
3
为首项,
1
3
为公比的等比数列.
(2)
T
2n
=(
a
1
+
a
3
+…+
a
2n-1
)+(
a
2
+
a
4
+…+
a
2n
)=
1-
(
1
3
)
n
1-
1
3
+
1
3
[1-
(
1
3
)
n
]
1-
1
3
=
2-2(
1
3
)
n
(3)81T
2n
•a
2n
≤2(1-ka
2n
),则
81•[2-2(
1
3
)
n
]•(
1
3
)
n
≤2•[1-k(
1
3
)
n
]
,
令
t=(
1
3
)
n
,则81(1-t)t≤1-kt,kt≤1-81(1-t)t,∵t>0,
k≤81t+
1
t
-81
又
81t+
1
t
-81≥2
81
-81=-63
,等号当且仅当
81t=
1
t
,t=
1
9
,
即
(
1
3
)
n
=
1
9
,n=2
时成立.故k≤-63,即k的最大值为-63.
举一反三
设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和,8a
2
-a
5
=0,则
S
4
S
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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设f
1
(x)=
2
1+x
,f
n+1
(x)=f
1
[f
n
(x)],且
a
n
=
f
n
(0)-1
f
n
(0)+2
,则a
2013
=( )
A.
(
1
2
)
2012
B.
(
1
2
)
2013
C.
(
1
2
)
2014
D.
(
1
2
)
2015
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
满足:
S
n
=
a
a-1
(
a
n
-1)
(a为常数,且a≠0,a≠1)
(1)若a=2,求数列{a
n
}的通项公式
(2)设
b
n
=
2
S
n
a
n
+1
,若数列{b
n
}为等比数列,求a的值.
(3)在满足条件(2)的情形下,设
c
n
=
1
1+
a
n
+
1
1-
a
n+1
,数列{c
n
}前n项和为T
n
,求证
T
n
>2n-
1
3
.
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
}是等比数列,若a
6
=3,则a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知各项均为正数的等比数列{a
n
},a
1
•a
9
=16,则a
2
•a
5
•a
8
的值( )
A.16
B.32
C.48
D.64
题型:不详
难度:
|
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