已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{
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已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{
题型:不详
难度:
来源:
已知曲线C:xy=1,过C上一点A
n
(x
n
,y
n
)作一斜率为k
n
=
1
x
n+2
的直线交曲线C于另一点A
n+1
(x
n+1
,y
n+1
),点列{A
n
}的横坐标构成数列{x
n
},其中x
1
=
11
7
.
(I)求x
n
与x
n+1
的关系式;
(II)令b
n
=
1
x
n
-2
+
1
3
,求证:数列{b
n
}是等比数列;
(III)若c
n
=3
n
-λb
n
(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有c
n+1
>c
n
成立.
答案
(I)过C:xy=1上一点A
n
(x
n
,y
n
)作斜率为k
n
的直线交C于另一点A
n+1
,则k
n
=-
1
x
n
x
n+1
∵k
n
=
1
x
n+2
,∴-
1
x
n
x
n+1
=
1
x
n+2
∴x
n
x
n+1
=-x
n+2
;
(II)证明:∵b
n
=
1
x
n
-2
+
1
3
,∴b
n+1
=
1
x
n+1
-2
+
1
3
=
1
x
n
+2
x
n
-2
+
1
3
=-2(
1
x
n
-2
+
1
3
),
∵x
1
=
11
7
,∴b
1
=-2
∴数列{b
n
}是等比数列.
(III)由(II)知,
b
n
=(-2
)
n
,则c
n+1
>c
n
成立等价于c
n+1
-c
n
=2×3
n
+3λ×(-2)
n
>0恒成立
即
(-1)
n
λ>-
(
3
2
)
n-1
恒成立
①n为奇数时,
-λ>-
(
3
2
)
n-1
,∴
λ<
(
3
2
)
n-1
,∴λ<1;
②n为偶数时,
λ>-
(
3
2
)
n-1
,∴
λ>-
3
2
∴
-
3
2
<λ<1
∵λ为非零整数
∴λ=-1.
∴λ=-1,对任意n∈N
*
,都有c
n+1
>c
n
成立.
举一反三
已知点P
1
(a
1
,b
1
),P
2
(a
2
,b
2
),…,P
n
(a
n
,b
n
)(n为正整数)都在函数
y=(
1
2
)
x
图象上.
(Ⅰ)若数列{a
n
}是等差数列,证明:数列{b
n
}是等比数列;
(Ⅱ)设a
n
=n(n为正整数),过点P
n
,P
n+1
的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c
n
,试求最小的实数t,使c
n
≤t对一切正整数n恒成立;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的数列{a
n
},对每个正整数k,在a
k
与a
k+1
之间插入3
k-1
个3,得到一个新的数列{d
n
},设S
n
是数列{d
n
}的前n项和,试探究2008是否数列{S
n
}中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明.
题型:不详
难度:
|
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等比数列{a
n
}中a
n
>0,且a
5
•a
6
=9,则log
3
a
2
+log
3
a
9
=______;
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,过椭圆左顶点A(-a,0)的直线L与椭圆交于Q,与y轴交于R,过原点与L平行的直线与椭圆交于P,求证:AQ,
2
OP
,AR成等比数列.
题型:不详
难度:
|
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无穷数列{a
n
}满足a
n+1
=3a
n
-4,(n∈N
*
),且{a
n
}是有界数列,则该数列的通项公式为______.
题型:不详
难度:
|
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等比数列{a
n
}中,|a
1
|=1,a
5
=-8a
2
,a
5
>a
2
,则a
n
=( )
A.(-2)
n-1
B.-(-2
n-1
)
C.(-2)
n
D.-(-2)
n
题型:江西
难度:
|
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