已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{

已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{

题型:不详难度:来源:
已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{xn},其中x1=
11
7

(I)求xn与xn+1的关系式;
(II)令bn=
1
xn-2
+
1
3
,求证:数列{bn}是等比数列;
(III)若cn=3n-λbn(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
答案
(I)过C:xy=1上一点An(xn,yn)作斜率为kn的直线交C于另一点An+1,则kn=-
1
xnxn+1

∵kn=
1
xn+2
,∴-
1
xnxn+1
=
1
xn+2

∴xnxn+1=-xn+2
(II)证明:∵bn=
1
xn-2
+
1
3
,∴bn+1=
1
xn+1-2
+
1
3
=
1
xn+2
xn
-2
+
1
3
=-2(
1
xn-2
+
1
3
),
∵x1=
11
7
,∴b1=-2
∴数列{bn}是等比数列.
(III)由(II)知,bn=(-2)n,则cn+1>cn成立等价于cn+1-cn=2×3n+3λ×(-2)n>0恒成立
(-1)nλ>-(
3
2
)
n-1
恒成立
①n为奇数时,-λ>-(
3
2
)
n-1
,∴λ<(
3
2
)
n-1
,∴λ<1;
②n为偶数时,λ>-(
3
2
)
n-1
,∴λ>-
3
2

-
3
2
<λ<1

∵λ为非零整数
∴λ=-1.
∴λ=-1,对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
举一反三
已知点P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n为正整数)都在函数y=(
1
2
)x
图象上.
(Ⅰ)若数列{an}是等差数列,证明:数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)设an=n(n为正整数),过点Pn,Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn,试求最小的实数t,使cn≤t对一切正整数n恒成立;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的数列{an},对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入3k-1个3,得到一个新的数列{dn},设Sn是数列{dn}的前n项和,试探究2008是否数列{Sn}中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明.
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等比数列{an}中an>0,且a5•a6=9,则log3a2+log3a9=______;
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
,过椭圆左顶点A(-a,0)的直线L与椭圆交于Q,与y轴交于R,过原点与L平行的直线与椭圆交于P,求证:AQ,


2
OP
,AR成等比数列.
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无穷数列{an}满足an+1=3an-4,(n∈N*),且{an}是有界数列,则该数列的通项公式为______.
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等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=(  )
A.(-2)n-1B.-(-2n-1C.(-2)nD.-(-2)n
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