设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1、Sn、an+1成等差数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1-Sn,问:是否存在a

设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1、Sn、an+1成等差数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1-Sn,问:是否存在a

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设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1、Sn、an+1成等差数列.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)依题意,得2Sn=an+1-a1.于是,当n≥2时,有





2Sn=an+1-a1
2Sn-1=an-a1

两式相减,得an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{an}是首项为a1、公比为3的等比数列.
因此,an=a1•3n-1(n∈N*);
(Ⅱ)因为Sn=
a1(1-3n)
1-3
=
1
2
a13n-
1
2
a1

所以bn=1-Sn=1+
1
2
a1-
1
2
a13n

要使{bn}为等比数列,当且仅当1+
1
2
a1=0
,即a1=-2.
举一反三
已知数列{an}的前n项和为{Sn},又有数列{bn}满足关系b1=a1,对n∈N*,有an+Sn=n,bn+1=an+1-an
(1)求证:{bn}是等比数列,并写出它的通项公式;
(2)是否存在常数c,使得数列{Sn+cn+1}为等比数列?若存在,求出c的值;若不存在,说明理由.
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设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n
(Ⅰ)求a1,a4
(Ⅱ)证明:{an+1-2an}是等比数列;
(Ⅲ)求{an}的通项公式.
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等比数列{an}中,a4=4,则a2•a6等于______.
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已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{xn},其中x1=
11
7

(I)求xn与xn+1的关系式;
(II)令bn=
1
xn-2
+
1
3
,求证:数列{bn}是等比数列;
(III)若cn=3n-λbn(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
题型:不详难度:| 查看答案
已知点P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n为正整数)都在函数y=(
1
2
)x
图象上.
(Ⅰ)若数列{an}是等差数列,证明:数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)设an=n(n为正整数),过点Pn,Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn,试求最小的实数t,使cn≤t对一切正整数n恒成立;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的数列{an},对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入3k-1个3,得到一个新的数列{dn},设Sn是数列{dn}的前n项和,试探究2008是否数列{Sn}中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明.
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