设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n,(Ⅰ)求a1,a4(Ⅱ)证明:{an+1-2an}是等比数列;(Ⅲ)求{an}的通项公式.
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设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n, (Ⅰ)求a1,a4 (Ⅱ)证明:{an+1-2an}是等比数列; (Ⅲ)求{an}的通项公式. |
答案
(Ⅰ)因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2 由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1 得an+1=sn+2n+1① 所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8a3=S2+23=8+23=16,S2=24a4=S3+24=40 (Ⅱ)由题设和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n 所以{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列. (Ⅲ)an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)++2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)•2n-1 |
举一反三
等比数列{an}中,a4=4,则a2•a6等于______. |
已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn=的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列{An}的横坐标构成数列{xn},其中x1=. (I)求xn与xn+1的关系式; (II)令bn=+,求证:数列{bn}是等比数列; (III)若cn=3n-λbn(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立. |
已知点P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n为正整数)都在函数y=()x图象上. (Ⅰ)若数列{an}是等差数列,证明:数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)设an=n(n为正整数),过点Pn,Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn,试求最小的实数t,使cn≤t对一切正整数n恒成立; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的数列{an},对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入3k-1个3,得到一个新的数列{dn},设Sn是数列{dn}的前n项和,试探究2008是否数列{Sn}中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明. |
等比数列{an}中an>0,且a5•a6=9,则log3a2+log3a9=______; |
已知椭圆+=1,过椭圆左顶点A(-a,0)的直线L与椭圆交于Q,与y轴交于R,过原点与L平行的直线与椭圆交于P,求证:AQ,OP,AR成等比数列. |
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