在数列{an}中,已知a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N•.(1)设bn=an-n,求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.
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在数列{an}中,已知a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N•. (1)设bn=an-n,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn. |
答案
(1)∵====4,(5分) 且b1=a1-1=1∴bn为以1为首项,以4为公比的等比数列,(7分) (2)由(1)得bn=b1qn-1=4n-1(8分)∵an=bn+n=4n-1+n,(9分) ∴ | Sn=(40+41+42++4n-1)+(1+2+3++n) |
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=,(12分) |
举一反三
已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,则{an}的前5项和S5为( ) |
已知数列{an}中,a1=1,a2=3,其前n项和为Sn,且当n≥2时,an+1Sn-1-anSn=0. (Ⅰ)求证:数列{Sn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)令bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,证明对于任意的正整数n,都有≤Tn<成立. |
已知数列{an}满足a1=1,a2=λ(λ<3且λ≠-2),且an+2=an+1+6an.(n∈N*). (1)证明:数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列; (2)若an+1>an(n∈N*)恒成立,求λ的取值范围. |
定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,且an+1=2an2+2an,其中n为正整数. (1)设bn=2an+1,证明:数列{bn}是“平方递推数列”,且数列{lgbn}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式; (3)记cn=,求数列{cn}的前n项之和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值. |
已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( ) |
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