已知数列{an}满足a1=1,a2=λ(λ<3且λ≠-2),且an+2=an+1+6an.(n∈N*).(1)证明:数列{an+1+2an}与数列{an+1-3
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已知数列{an}满足a1=1,a2=λ(λ<3且λ≠-2),且an+2=an+1+6an.(n∈N*). (1)证明:数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列; (2)若an+1>an(n∈N*)恒成立,求λ的取值范围. |
答案
解析:(1)由an+2=an+1+6an得an+2+2an+1=3(an+1+2an)an+2-3an+1=-2(an+1-3an)…(4分) 由λ<3是λ≠-2知a2+2a1≠0,a2-3a1≠0,故有=3,=-2 ∴数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列.…(6分) (2)由(1)知:an+1+2an=(λ+2)3n-1①an+1-3an=(λ-3)(-2)n-1②…(7分) 由①-②得5an=(λ+2)3n-1+(3-λ)(-2)n-15an+1=(λ+2)3n+(3-λ)(-2)n…(8分) ∴5(an+1-an)=(2λ+4)•3n-1+(3λ-9)•(-2)n-1>0,又∵λ<3, 化简得>(-)n-1…(10分) 对于任意n∈N*,总有(-)n-1≤1…(11分) ∴>1,解之得1<λ<3…(12分) |
举一反三
定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,且an+1=2an2+2an,其中n为正整数. (1)设bn=2an+1,证明:数列{bn}是“平方递推数列”,且数列{lgbn}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式; (3)记cn=,求数列{cn}的前n项之和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值. |
已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( ) |
设2a是1+b和1-b的等比中项,则6a+4b的最大值为( ) |
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=a4+6,且a1,a4,a13成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{}的前n项和公式. |
已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=______. |
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