定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，且an+1=2an2+2an，其中n为正整数．（1）

题型：南通模拟难度：来源：

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=2a_n²+2a_n，其中n为正整数．
（1）设b_n=2a_n+1，证明：数列{b_n}是“平方递推数列”，且数列{lgb_n}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{b_n}的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式；
（3）记c_n=

log

Tn2an+1

，求数列{c_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2008的n的最小值．

答案

（1）由条件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴{b_n}是“平方递推数列”．∴lgb_n+1=2lgb_n．∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg（2a_n+1）=2^n-1⋅lg5，∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

（52n-1-1）．
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=

(1-2n)lg5

1-2

=（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=5^2n-1．
（3）c_n=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，
∴S_n=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1]=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2[1-(

1

2

)n]=2n-2+2(

1

2

)n．
由S_n＞2008得2n-2+2(

1

2

)n＞2008，n+(

1

2

)n＞1005，
当n≤1004时，n+(

1

2

)n＜1005，当n≥1005时，n+(

1

2

)n＞1005，∴n的最小值为1005．