数列{an}中,a1=1,前n项的和是Sn,且Sn=2an-1,n∈N*.(I)求出 a2,a3,a4;(II)求数列{an}的通项公式;(III)求证:SnS

数列{an}中,a1=1,前n项的和是Sn,且Sn=2an-1,n∈N*.(I)求出 a2,a3,a4;(II)求数列{an}的通项公式;(III)求证:SnS

题型:房山区二模难度:来源:
数列{an}中,a1=1,前n项的和是Sn,且Sn=2an-1,n∈N*
(I)求出 a2,a3,a4
(II)求数列{an}的通项公式;
(III)求证:SnSn+2
S2n+1
答案
(I)∵a1=1,Sn=2an-1,
∴当n=2时,a1+a2=2a2-1,∴a2=2
当n=3时,a1+a2+a3=2a3-1,∴a3=4
当n=4时,a1+a2+a3+a4=2a4-1,∴a4=8      …(3分)
(II)∵Sn=2an-1,n∈N*.         (1)
∴Sn-1=2an-1-1,n≥2,n∈N*.    (2)
(1)-(2)得an=2an-1
∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴an=2n-1…(8分)
(III)证明:∵Sn=2an-1=2n-1,
∴SnSn+2=(2n-1)•(2n+2-1)=22n+2-2n+2-2n+1,
S2n+1
=22n+2-2n+2+1
∵2n>0
∴SnSn+2
S2n+1
.…(13分)
举一反三
在等比数列{an}中,若公比q>1,且a2a8=6,a4+a6=5,则
a5
a7
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,若数列{Sn+1}是公比为4的等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an
(Ⅱ)设bn=
an+1
(an+1-3)•Sn+1
,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn
题型:不详难度:| 查看答案
设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=______.
题型:江苏难度:| 查看答案
已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足bn=log3an,则数列{
1
bnbn+1
}
的前n项和Sn=______.
题型:不详难度:| 查看答案
设数列{an}的首项a1
1
4
,且an+1=





1
2
an
n是偶
an+
1
4
n是奇
,记bn=a2n-1-
1
4
,n=1,2,3…
(Ⅰ)求a2,a3
(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn
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