设数列{an}的首项a1≠14,且an+1=12ann是偶an+14n是奇,记bn=a2n-1-14,n=1,2,3…(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)判断数列{bn}

设数列{an}的首项a1≠14,且an+1=12ann是偶an+14n是奇,记bn=a2n-1-14,n=1,2,3…(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)判断数列{bn}

题型:北京难度:来源:
设数列{an}的首项a1
1
4
,且an+1=





1
2
an
n是偶
an+
1
4
n是奇
,记bn=a2n-1-
1
4
,n=1,2,3…
(Ⅰ)求a2,a3
(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn
答案
(I)a2=a1+
1
4
=a+
1
4
,a3=
1
2
a2=
1
2
a+
1
8

(II)∵a4=a3+
1
4
=
1
2
a+
3
8
,所以a5=
1
2
a4=
1
4
a+
3
16

所以b1=a1-
1
4
=a-
1
4
,b2=a3-
1
4
=
1
2
(a-
1
4
),b3=a5-
1
4
=
1
4
(a-
1
4
),
猜想:{bn}是公比为
1
2
的等比数列•
证明如下:
因为bn+1=a2n+1-
1
4
=
1
2
a2n-
1
4
=
1
2
(a2n-1-
1
4
)=
1
2
bn,(n∈N*)
所以{bn}是首项为a-
1
4
,公比为
1
2
的等比数列.
(III)
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn)=
lim
n→∞
lim
n→∞
b1(1-
1
2n
)
1-
1
2
=
b1
1-
1
2
=2(a-
1
4
).
举一反三
已知α,β,γ成公比为2的等比数列(α∈[0,2π]),且sinα,sinβ,sinγ也成等比数列.求α,β,γ的值.
题型:广东难度:| 查看答案
已知一列非零向


an
满足:


a1
=(x1y1),


an
=(xnyn)=
1
2
(xn-1-yn-1xn-1+yn-1)(n≥2)

(Ⅰ)证明:{|


an
|}
是等比数列;
(Ⅱ)求向量


a
n-1


a
n
的夹角(n≥2)

(Ⅲ)设


a
1
=(1,2),把


a1


a2
,…,


an
,…中所有与


a1
共线的向量按原来的顺序排成
一列,记为


b1


b2
,…,
.
bn
,…,令


OB
n
=


b1
+


b2
+…+


bn
,0
为坐标原点,求点列{Bn}的极限点B的坐标.
(注:若点Bn坐标为(tnsn),且
lim
n→∞
tn=t,
lim
n→∞
sn=s,则称点B(t,s)为点列{Bn}
的极限点.)
题型:潍坊模拟难度:| 查看答案
已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=
1
a2n
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;
(Ⅱ)如果数列{bn}前3项的和等于
7
24
,求数列{an}的首项a1和公差d.
题型:黑龙江难度:| 查看答案
已知f(x)=log2(x+m),m∈R
(1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;
(2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}的前n项和Sn满足:t(Sn+1+1)=(2t+1)S n  n∈N*.
(1)求证{an}是等比数列;
(2)若{an}的公比为f(t),数列{bn}满足:b1=1,bn+1=f(
1
bn
),求{bn}的通项公式;
(3)定义数列{cn}为:cn=
1
bn+1bn
,求{cn}的前n项和Tn,并求
lim
n→∞
Tn
题型:杭州二模难度:| 查看答案
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