已知数列{an}满足a1=1,an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*).(1)设bn=1+24an,求证:{bn-3}成等比数列;(2)求数列{
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已知数列{an}满足a1=1,an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*).(1)设bn=1+24an,求证:{bn-3}成等比数列;(2)求数列{
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足a
1
=1,
a
n+1
=
1
16
(1+4
a
n
+
1+24
a
n
)
(n∈N
*
).
(1)设
b
n
=
1+24
a
n
,求证:{b
n
-3}成等比数列;
(2)求数列{a
n
}的通项公式a
n
.
答案
(1)由
b
n
=
1+24
a
n
,得
a
n
=
b
2n
-1
24
,
代入
a
n+1
=
1
16
(1+4
a
n
+
1+24
a
n
)
,
得
b
2n+1
-1
24
=
1
16
(1+4×
b
2n
-1
24
+
b
n
)⇒4
b
2n+1
=(
b
n
+3
)
2
,
∴2b
n+1
=b
n
+3.…(5分)
∴2(b
n+1
-3)=b
n
-3,又
b
1
=
1+24×1
=5
,则b
1
-3=2≠0.…(7分)
∴{b
n
-3}是以2为首项,
1
2
为公比的等比数列.…(8分)
(2)由(1)得
b
n
-3=
1
2
n-2
,∴
b
n
=
1
2
n-2
+3
,…(10分)
则
a
n
=
b
2n
-1
24
=
2
3
×
1
4
n
+
1
2
n+2
+
1
3
.…(13分)
举一反三
若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax
2
+bx+c与x轴的交点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.不确定的
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}和{b
n
}满足:a
1
=λ,a
n+1
=
2
3
a
n
+n-4,
b
n
=(-1
)
n
(
a
n
-3n+21)
,
其中λ为实数,n为正整数.
(1)对任意实数λ,证明:数列{a
n
}不是等比数列;
(2)证明:当λ≠18时,数列 {b
n
} 是等比数列;
(3)设S
n
为数列 {b
n
} 的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S
n
>-12?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:上海模拟
难度:
|
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已知数列{a
n
}是等比数列,且
a
1
=
1
8
,a
4
=-1,则{a
n
}的公比q为( )
A.2
B.-
1
2
C.-2
D.
1
2
题型:深圳模拟
难度:
|
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等比数列的公比为2,前5项和为1,则其前10项和为______.
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}是等比数列,且a
n
>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,那么a
3
+a
5
的值等于______.
题型:不详
难度:
|
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