已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn.(I)求a1,a2;(II)求通项公式an;(III)求证数列{Sn-1}为等比数列.
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已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn. (I)求a1,a2; (II)求通项公式an; (III)求证数列{Sn-1}为等比数列. |
答案
(I) 在an=2-2Sn 取n=1,则a1=2-2S1=2-2a1∴a1= 取n=2,则a2=2-2S2=2-2(a1+a2)=2-2(+a2)∴a2=.(2分) (II)∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1 ∴an-an-1=(2-2Sn)-(2-2Sn-1)=-2(Sn-Sn-1)=-2an ∴an=an-1,n≥2 又a1= ∴an≠0,n∈N* ∴= ∴{an}为等比数列,且公比为 ∴an=×()n-1=,n∈N*.(4分) (III) 当n≥2时,2-2Sn=an=Sn-Sn-1 即:3Sn=2+Sn-1 ∴3(Sn-1)=Sn-1-1 又S1-1=a1-1=-≠0 ∴Sn-1≠0,n∈N* ∴=为常数 ∴数列{Sn-1}为等比数列.(7分) |
举一反三
已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n2-3n-2(n=1,2,3…).令bn=an-2n(n=1,2,3…). (Ⅰ)求证:数列{bn}为等比数列; (Ⅱ)令cn=,记Tn=c1c2+2c2c3+22c3c4+…+2n-1cncn+1,比较Tn与的大小. |
已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1+4an+)(n∈N*). (1)设bn=,求证:{bn-3}成等比数列; (2)求数列{an}的通项公式an. |
若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c与x轴的交点个数是( ) |
已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21), 其中λ为实数,n为正整数. (1)对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列; (2)证明:当λ≠18时,数列 {bn} 是等比数列; (3)设Sn为数列 {bn} 的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由. |
已知数列{an}是等比数列,且a1=,a4=-1,则{an}的公比q为( ) |
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