设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}

题型：安徽省期末题难度：来源：

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N*）．
（1）设b_n=a_n+1﹣2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

答案

解：（1）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，
所以b₁=a₂﹣2a₁=3．
由S_n+1=4a_n+2，①
则当n≥2时，有S_n=4a_n﹣1+2，②
②﹣①得a_n+1=4a_n﹣4a_n﹣1，
所以a_n+1﹣2a_n=2（a_n﹣2a_n﹣1），
又b_n=a_n+1﹣2a_n，所以b_n=2b_n﹣1，
所以{b_n}是以b₁=3为首项、以2为公比的等比数列．
（2）由（I）可得b_n=a_n+1﹣2a_n=3·2^n﹣1，
所以 ．
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
所以 ，
即a_n=（3n﹣1）·2^n﹣2（n∈N*）．