设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切．对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1，相互外切．以rn表示

题型：安徽省高考真题难度：来源：

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切．对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1，相互外切．以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列，
(Ⅰ)证明：{r_n}为等比数列；
(Ⅱ)设r₁=1，求数列的前n项和．

答案

解：(Ⅰ)将直线y=x的倾斜角记为θ，则有，，
设C_n的圆心为，
则由题意知，得，
同理λ_n+1=2r_n+1，
从而λ_n+1=λ_n+r_n+r_n+1=2r_n+1，
将λ_n=2r_n代入，解得r_n+1=3r_n，
故{r_n}为公比q=3的等比数列．
(Ⅱ)由于，
故，从而，
即，
则有S_n=1+2×3^-1+3×3^-2+... +n·3^1-n， ①
=1×3^-1+2×3^-2+…+(n-1)·3^1-n+n·3^-n， ②
①-②，得

，
∴。