设{an}和{bn}均为无穷数列.(1)若{an}和{bn}均为等比数列,试研究:{an+bn}和{anbn}是否是等比数列?请证明你的结论;若是等比数列,请写
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设{an}和{bn}均为无穷数列.(1)若{an}和{bn}均为等比数列,试研究:{an+bn}和{anbn}是否是等比数列?请证明你的结论;若是等比数列,请写
题型:山东省期末题
难度:
来源:
设{a
n
}和{b
n
}均为无穷数列.
(1)若{a
n
}和{b
n
}均为等比数列,试研究:{a
n
+b
n
}和{a
n
b
n
}是否是等比数列?请证明你的结论;若是等比数列,请写出其前n项和公式.
(2)请类比(1),针对等差数列提出相应的真命题(不必证明),并写出相应的等差数列的前n项和公式(用首项与公差表示).
答案
解:(1)①设c
n
=a
n
+b
n
,则
﹣(
+
)(
+
)
=a
1
b
1
(q
1
﹣q
2
)
2
当q
1
=q
2
时,对任意的n∈N,n≥2,
=c
n+1
c
n﹣1
恒成立,
故{a
n
+b
n
}为等比数列;
∴Sn=
当q
1
≠q
2
时,对任意的n∈N,n≥2,
≠c
n+1
c
n﹣1
,{a
n
+b
n
}不是等比数列.
②设d
n
=a
n
b
n
,对于任意n∈N*,
,{a
n
b
n
}是等比数列.
S
n
=
(2)设{a
n
},{b
n
}均为等差数列,公差分别为d
1
,d
2
,则:
①{a
n
+b
n
}为等差数列;S
n
=(a
1
+b
1
)n+
(d
1
+d
2
)
②当d
1
与d
2
至少有一个为0时,{a
n
b
n
}是等差数列,
若d
1
=0,S
n
=a
1
b
1
n+
a
1
d
2
;
若d
2
=0,S
n
=a
1
b
1
n+
b
1
d
1
.
③当d
1
与d
2
都不为0时,{a
n
b
n
}一定不是等差数列.
举一反三
设等比数列{a
n
}的公比q<1,前n项和为S
n
.已知a
3
=2,S
4
=5S
2
,则{a
n
}的通项公式为( )。
题型:同步题
难度:
|
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,对任意的正整数n,都有a
n
=5S
n
+1成立,
记
(n∈N*),
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)记C
n
=b
2n
﹣b
2n﹣1
(n∈N*),设数列{Cn}的前n和为T
n
,
求证:对任意正整数n,都有
.
题型:月考题
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{a
n
}的通项公式a
n
=( ).
题型:期末题
难度:
|
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等比数列
的前n项和S
n
,且
(1)求数列
的通项公式
(2)求数列
的前n项的和S
n
.
题型:山东省期中题
难度:
|
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等比数列{a
n
}的各项均为正数,且2a
1
+3a
2
=1,a
3
2
=9a
2
a
6
,
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
,求数列{
}的前n项和.
题型:江西省月考题
难度:
|
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