设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，a1=a，且Sn2=3n2an+Sn-12，an≠0，n=2，3，4，…。（1）证明数列{an+2-an}（n≥2）

题型：湖南省高考真题难度：来源：

设S_n是数列{a_n}（n∈N*）的前n项和，a₁=a，且S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…。
（1）证明数列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常数数列；
（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{b_n}（n∈N*）中的所有项都是数列{a_n}中的项，并指出b_n是数列{a_n}中的第几项。

答案

解：（1）当时，由已知得
因为，
所以 ①
于是 ②
由②-①得： ③
于是 ④
由④-③得： ⑤
即数列（）是常数数列。
（2）由①有，
所以
由③有，
所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列
所以，
，
由题设知，
当a为奇数时，为奇数，而为偶数，
所以不是数列中的项，只可能是数列中的项
若是数列中的第项，由得，
，取，得，此时，
由，得，，
从而是数列中的第项。