对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”。定义变换T,T将"0-1数列"A中原有的每个1都
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对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”。定义变换T,T将"0-1数列"A中原有的每个1都
题型:0107 模拟题
难度:
来源:
对于数列A:a
1
,a
2
,…,a
n
,若满足a
i
∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”。定义变换T,T将"0-1数列"A中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0;例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1。设A
0
是"0-1数列",令A
k
=T(A
k-1
),k=1,2,3,…,
(Ⅰ)若数列A
2
:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,求数列A
1
,A
0
;
(Ⅱ)若数列A
0
共有10项,则数列A
2
中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由;
(Ⅲ)若A
0
为0,1,记数列A
k
中连续两项都是0的数对个数为l
k
,k=1,2,3,…,求l
k
关于k的表达式。
答案
解:(Ⅰ)由变换T的定义可得A
1
:0,1,1,0,0,1;
A
0
:1,0,1;
(Ⅱ)数列A
0
中连续两项相等的数对至少有10对;
证明:对于任意一个“0-1数列”A
0
,A
0
中每一个1在A
2
中对应连续四项1,0,0,1,在A
0
中每一个0在A
2
中对应的连续四项为0,1,1,0,
因此,共有10项的“0-1数列”A
0
中的每一个项在A
2
中都会对应一个连续相等的数对,
所以A
2
中至少有10对连续相等的数对。
(Ⅲ) 设A
k
中有b
k
个01数对,
A
k+1
中的00数对只能由A
k
中的01数对得到,所以
,
A
k+1
中的01数对有两个产生途径:①由A
k
中的1得到;②由A
k
中00得到,
由变换T的定义及A
0
:0,1可得A
k
中0和1的个数总相等,且共有
个,
所以
,
所以
,
由A
0
:0,1可得A
1
:1,0,0,1,A
2
:0,1,1,0,1,0,0,1,
所以
;
当k≥3时,
若k为偶数,
,
,
…
,
上述各式相加可得
,
经检验,k=2时,也满足
;
若k为奇数,
,
,
…
,
上述各式相加可得
,
经检验,k=1时,也满足
;
所以
。
举一反三
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知a
1
=1,S
n
=2
n+1
-n-2(n∈N*),
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
。
题型:吉林省模拟题
难度:
|
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知a
1
=1,S
n+1
=2S
n
+n+1(n∈N*),
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若
,数列{b
n
}的前项和为T
n
,n∈N*,证明:T
n
<2。
题型:吉林省模拟题
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}满足a
1
+2a
2
+2
2
a
3
+…+
2
n-1
a
n
=n
2
(n∈N*)。
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
。
题型:0127 模拟题
难度:
|
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n
2
(n≥4)个正数排成行列的数表:
其中,每一行数成等差数列,每一列数成等比数列,并且各列的公比都相等.已知a
12
=1,a
14
=2,a
23
=
,则a
21
=( ),a
nn
=( )。
题型:湖北省模拟题
难度:
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设数列{a
n
}满足a
1
=0且
。
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=
,记S
k
=
,证明:S
n
<1。
题型:高考真题
难度:
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