设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立,(
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设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立,(
题型:江苏高考真题
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设M为部分正整数组成的集合,数列{a
n
}的首项a
1
=1,前n项的和为S
n
,已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,S
n+k
+S
n-k
=2(S
n
+S
k
)都成立,
(1)设M={1},a
2
=2,求a
5
的值;
(2)设M={3,4},求数列{a
n
}的通项公式.
答案
解:(1)由题设知,当n≥2时,
,
即
,
从而
2a
1
=2,
又a
2
=2,
故当n≥2时,a
n
=a
2
+2(n-2)=2n-2,
所以a
5
的值为8.
(2)由题设知,当k∈M={3,4}且n>k时,
,
且
,
两式相减得
,即
,
所以当n≥8时,
成等差数列,且
也成等差数列.
从而当n≥8时,
, (*)
且
,
所以当n≥8时,
,即
,
于是当n≥9时,
成等差数列,
从而
,
故由(*)式知
,
即
,
当n≥9时,设
,
当2≤n≤8时,n+6≥8,从而由(*)式知
,
故
,
从而
,
于是
,
因此,
对任意n≥2都成立,
又由
可知
,
故9d=2S
3
且16d=2S
4
,解得
,从而
,
因此,数列{a
n
}为等差数列.
由a
1
=1知d=2,
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2n-1.
举一反三
方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点,若函数f(x)=
有唯一不动点,且x
1
=1000,x
n+1
=
(n∈N*),则x
2011
=( )。
题型:同步题
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|
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某林厂年初有森林木材存量Sm
3
,木材以每年25%的增长率生长,而每年末要砍伐固定的木材量xm
3
,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:专项题
难度:
|
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根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S
n
(万件)近似地满足S
n
=
(21n-n
2
-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是
[ ]
A.5月、6月
B.6月、7月
C.7月、8月
D.8月、9月
题型:专项题
难度:
|
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如下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为
(n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如
…,则第10行第4个数(从左往右数)为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:专项题
难度:
|
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数列{a
n
}满足下列条件:a
1
=1,且对于任意的正整数n,恒有a
2n
=n·a
n
,则a
2100
的值为
[ ]
A.1
B.299
C.2
D.24 950
题型:模拟题
难度:
|
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