设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记｡(I)求数列的通项公式;(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;(III)设数列的前项和为｡已知正

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设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记｡
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
(III)设数列的前项和为｡已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值｡

答案

解：（Ⅰ）当时，
又

数列成等比数列，其首项，公比是

 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
当
当

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则


>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有


当n为偶数时，设
则<
当n为奇数时，设
则
<
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数的最小值为4

解析

略