解:(Ⅰ)解法一:, , .由此可猜想出数列的通项公式为. 以下用数学归纳法证明. (1)当时,,等式成立. (2)假设当时等式成立,即, 那么. 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立. 解法二:由,,可得, 所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为. (Ⅱ)解:设, ① ② 当时,①式减去②式, 得, . 这时数列的前项和. 当时,.这时数列的前项和. (Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明: . ③ 由知,要使③式成立,只要, 因为
. 所以③式成立. 因此,存在,使得对任意均成立. |