已知数列{an}的前n项和Sn,满足:Sn=2an-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an;(2)若数列{bn}的满足bn=log2(an+2),Tn

已知数列{an}的前n项和Sn,满足:Sn=2an-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an;(2)若数列{bn}的满足bn=log2(an+2),Tn

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已知数列{an}的前n项和Sn,满足:Sn=2an-2n(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项an
(2)若数列{bn}的满足bn=log2(an+2),Tn为数列{
bn
an+2
}
的前n项和,求证:Tn
1
2
答案
(1)当n∈N*时,Sn=2an-2n①,则当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)②,
①-②,得an=2an-2an-1-2,即an=2an-1+2,
∴an+2=2(an-1+2),∴
an+2
an-1+2
=2

当n=1时,S1=2a1-2,则a1=2.
∴{an+2}是以a1+2=4为首项,2为公比的等比数列,
an+2=4•2n-1,∴an=2n+1-2
(2)证明:bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1,∴
bn
an+2
=
n+1
2n+1

Tn=
2
22
+
3
23
+…+
n+1
2n+1
③,
1
2
Tn=
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
+
n+1
2n+2
…④,
③-④,得
1
2
Tn=
2
22
+
1
23
+
1
24
+…
+
1
2n+1
-
n+1
2n+2
=
1
2
+
1
23
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
n+1
2n+2
=
3
4
-
n+3
2n+2

∴Tn=
3
2
-
n+3
2n+1

当n≥2时,Tn-Tn-1=-
n+3
2n+1
+
n+2
2n
=
n+1
2n+1
>0

∴{Tn}为递增数列,∴TnT1=
1
2
举一反三
若正数项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(


Sn
,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上.
(1)求a2,a3
(2)求数列{an}的通项公式an
(3)设bn=
1
anan+1
,Tn表示数列{bn}的前项和,若Tn≥a恒成立,求Tn及实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
等比数列{an} 中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
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第一列第二列第三列
第一行3210
第二行6414
第三行9818
已知数列{an}中,a1=3,a2=5,Sn为其前n项和,且满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=
n
an-1
,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)若f(x)=2x-1,cn=
1
anan+1
,Qn=c1f(1)+c2f(2)+…+cnf(n),求证Qn
1
6
(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
4an+1
an2an+22
,且数列{bn}的前n项之和为Tn,求证:Tn
5
4
已知有两个数列{an},{bn},它们的前n项和分别记为Sn,Tn,且数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sm=26,前m项中数值最大的项的值为18,S2m=728,又Tn=2n2
(I)求数列{an},{bn}的通项公式.
(II)若数列{cn}满足cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Pn