已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=12anan+1(n∈N*),a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:1a12+1a22+

已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=12anan+1(n∈N*),a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:1a12+1a22+

题型:潮州二模难度:来源:
已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=
1
2
anan+1(n∈N*)
,a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
1
a12
+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an2
7
4
答案
(1)∵Sn=
1
2
anan+1
,①
Sn-1=
1
2
an-1an(n≥2)
,②
①-②得an=Sn-Sn-1=
1
2
(an+1-an-1)an

∵an≠0,∴an+1-an-1=2.
数列{an}的奇数项组成首项为a1=1,公差为2的等差数列;偶数项组成首项为a2,公差为2的等差数列.
∵a1=1,∴a2=
S1
1
2
a1
=2

∴a2n-1=1+(n-1)×2=2n-1,a2n=2+(n-1)×2=2n.
∴数列{an}的通项公式为an=n.(n∈N*);
(2)证明:当n≥3时,
1
an2
=
1
n2
1
(n-1)n
=
1
(n-1)
-
1
n
,则
1
a12
+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an2
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
<1+
1
4
+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+
1
(n-1)
-
1
n
=
7
4
-
1
n
7
4

当n=1时,
1
a12
=1<
7
4
;  当n=2时,
1
a12
+
1
a22
=
5
4
7
4

1
a12
+
1
a22
+
1
a32
+…+
1
an2
7
4
举一反三
设Sn为数列{an}前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足bn=
bn-1
1+bn-1
,b1=2a1
(1)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)求数列{
1
an+2bn
}
的前n项和Tn
题型:东莞二模难度:| 查看答案
(1)数列an的前n项和Sn=n2+1.则数列an的通项公式为______;
(2)设数列an的前n项和为Sn=2n2,则数列an的通项公式为______.
题型:不详难度:| 查看答案
(教材江苏版第62页习题7)(1)已知数列an的通项公式为an=
1
n(n+1)
,则前n项的和 ______;(2)已知数列an的通项公式为an=
1


n
+


n+1
,则前n项的和 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1,则Sn=(  )
A.2n-1B.2n-1C.3n-1D.
1
2
(3n-1)
题型:房山区二模难度:| 查看答案
设数列{an}的通项为an=2n-10(n∈N+),则|a1|+|a2|+…+|a15|=______.
题型:许昌二模难度:| 查看答案
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