已知函数f(x)=x2+2x,数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn
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已知函数f(x)=x2+2x,数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2kn•an,求数列{bn}的前n项和Tn. |
答案
(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上, ∴Sn=n2+2n,(2分) 当n=1时,a1=S1=3;(3分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n(n-1)2-2(n-1)2n+1,(5分) 当n=1时,也满足,故an=2n+1.(6分) (2)由f(x)=x2+2x,求导可得f"(x)=2x+1,∵过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn ∴kn=2n+2. 又∵bn=2kn•an,∴bn=22n+2•(2n+1)=4(2n+1)•4n.(8分) ∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4(2n+1)•4n① 由①×④可得:4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4(2n+1)•4n+1② ①-②可得:-3Tn=4×[3×4+2•(42+43+…+4n)-(2n+1)•4n+1](10分) =4×[3×4+2×-(2n+1)•4n+1]∴Tn=•4n+2-.(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时f(x)的值域为[a3,b3],…依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时f(x)的值域为[an,bn],其中a、b为常数且a1=0,b1=1 (1)若a=1,求数列{an},{bn}的通项公式. (2)若a>0且a≠1,要使数列{bn}是公比不为1的等比数列,求b的值. (3)若a<0,设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,求(T1+T2+…+T2000)-(S1+S2+…+S2000)的值. |
已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=. (1)当x∈N+时,求f(n)的表达式; (2)设an=nf(n),求证:a1+a2+…+an<2; (3)设bn=+b2+…+bn,求Sn. |
已知无穷数列{an},首项a1=3,其前n项和为Sn,且an+1=(a-1)Sn+2(a≠0,a≠1,n∈N*).若数列{an}的各项和为-a,则a=______. |
若数列an的通项公式an=,(n∈N*),则该数列的前n项和Sn=______. |
在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+)2an. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)令bn=an+1-an,求数列{bn}的前n项和Sn; (Ⅲ)求数列{an}的前n项和Tn. |
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