已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时f(x)的值域为[a3,b3],…依此类推,一般地,当x
题型:闸北区一模难度:来源:
已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时f(x)的值域为[a3,b3],…依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时f(x)的值域为[an,bn],其中a、b为常数且a1=0,b1=1 (1)若a=1,求数列{an},{bn}的通项公式. (2)若a>0且a≠1,要使数列{bn}是公比不为1的等比数列,求b的值. (3)若a<0,设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,求(T1+T2+…+T2000)-(S1+S2+…+S2000)的值. |
答案
(1)a=1时,f(x)=x+b在R上是增函数, 由已知,当n≥2时,x∈[an-1,bn-1],f(x)的值域是[an,bn], ∴an=f(an-1)=an-1+b,bn=f(bn-1)=bn-1+b, ∴{an}、{bn}都是公差为b的等差数列. ∵a1=0,b1=1, ∴an=(n-1)b,bn=(n-1)b+1; (2)∵a>0,a≠1, ∴f(x)=ax+b在R上也是增函数, 由已知有bn=f(bn-1)=abn-1+b,即bn=abn-1+b(n≥2), ∴=a+, 若{bn}是公比不为1的等比数列,则是常数,所以b=0; (3)∵a<0,∴f(x)=ax+b在R上是减函数, 由已知可得,bn=f(an-1)=a•an-1+b,an=f(bn-1)=a•bn-1+b, ∴bn-an=-a(bn-1-an-1)(n≥2), ∴{bn-an}是以1为首项,-a为公比的等比数列, ∴bn-an=(-a)n-1, ∴Tn-Sn=(b1-a1)+(b2-a2)+…+(bn-an)=, 于是,(T1+T2+…+T2000)-(S1+S2+…+S2000) =(T1-S1)+(T2-S2)+…+(T2000-S2000) =. |
举一反三
已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=. (1)当x∈N+时,求f(n)的表达式; (2)设an=nf(n),求证:a1+a2+…+an<2; (3)设bn=+b2+…+bn,求Sn. |
已知无穷数列{an},首项a1=3,其前n项和为Sn,且an+1=(a-1)Sn+2(a≠0,a≠1,n∈N*).若数列{an}的各项和为-a,则a=______. |
若数列an的通项公式an=,(n∈N*),则该数列的前n项和Sn=______. |
在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+)2an. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)令bn=an+1-an,求数列{bn}的前n项和Sn; (Ⅲ)求数列{an}的前n项和Tn. |
已知由正数组成的两个数列{an},{bn},如果an,an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根. (1)求证:{bn}为等差数列; (2)已知a1=2,a2=6,分别求数列{an},{bn}的通项公式; (3)求数{}的前n项和S. |
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