已知数列{an}中，对一切自然数n，都有an∈（0，1）且an•an+12+2an+1-an=0．求证：（1）an+1＜12anSn；（2）若Sn表示数列{an

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}中，对一切自然数n，都有a_n∈（0，1）且a_n•a_n+1²+2a_n+1-a_n=0．求证：
（1）a_n+1＜

1

2

anS_n；
（2）若S_n表示数列{a_n}的前n项之和，则S_n＜2a₁．

答案

（1）由已知a_n•a_n+1²+2a_n+1-a_n=0得an=

2an+1

1-an+12

，
又因为a_n∈（0，1），所以0＜1-a_n+1²＜1，因此a_n＞2a_n+1，即an+1＜

1

2

an（6分）

（2）由结论（1）可知an＜

1

2

an-1＜

1

22

an-2＜…＜

1

2n-1

a1，即an＜

1

2n-1

a1，
于是Sn=a1+a2+…+an＜a1+

1

2

a1+…+

1

2n-1

a1=a1•

1- 1 2n

1- 1 2

＜ 2a1，
即S_n＜2a₁（14分）