已知数列{an}满足:an+1=an+(12)n+1(n∈N*),且a1=1;设bn=12an-34.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2n-1(n

已知数列{an}满足:an+1=an+(12)n+1(n∈N*),且a1=1;设bn=12an-34.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2n-1(n

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足:an+1=an+(
1
2
)n+1(n∈N*),且a1=1;设bn=
1
2
an-
3
4

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=2n-1(n∈N*),求数列{bn•cn}的前n项和Sn
答案
(Ⅰ)∵an+1=an+(
1
2
)n+1(n∈N*),且a1=1

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1
=1+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
n
)n=1+
1
4
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
=
3
2
-(
1
2
)n

又∵当n=1时,上式也成立,∴an=
3
2
-(
1
2
)n(n∈N*)

(Ⅱ)∵bn=
1
2
an-
3
4
=
1
2
[
3
2
-(
1
2
)n]-
3
4
=-
1
2
n+1
(n∈N*)

又∵cn=2n-1(n∈N*)
∴Sn=b1•c1+b2•c2+…+bn•cn
Sn=-(
1
2
)2-3×(
1
2
)3-5×(
1
2
)4-…-(2n-1)×(
1
2
)n+1

1
2
Sn=-(
1
2
)3-3×(
1
2
)4-…-(2n-3)×(
1
2
)n+1-(2n-1)×(
1
2
)n+2

①-②得:
1
2
Sn=-(
1
2
)2-2×(
1
2
)3-2×(
1
2
)4-…-2×(
1
2
)n+1+(2n-1)×(
1
2
)n+2

=-
1
4
-2[(
1
2
)3+(
1
2
)4+…+(
1
2
)n+1]+(2n-1)(
1
2
)n+2=-
3
4
+
2n+3
2n+2

Sn=-
3
2
+
2n+3
2n+1
举一反三
已知函数f(x)=x2+2x,数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn
(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2kn•an,求数列{bn}的前n项和Tn
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时f(x)的值域为[a3,b3],…依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时f(x)的值域为[an,bn],其中a、b为常数且a1=0,b1=1
(1)若a=1,求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)若a>0且a≠1,要使数列{bn}是公比不为1的等比数列,求b的值.
(3)若a<0,设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,求(T1+T2+…+T2000)-(S1+S2+…+S2000)的值.
题型:闸北区一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=
1
2

(1)当x∈N+时,求f(n)的表达式;
(2)设an=nf(n)
 &(n∈N+



,求证:a1+a2+…+an<2;
(3)设bn=
nf(n+1)
f(n)
 &(n∈N+),Sn=b1
+b2+…+bn
,求Sn
题型:不详难度:| 查看答案
已知无穷数列{an},首项a1=3,其前n项和为Sn,且an+1=(a-1)Sn+2(a≠0,a≠1,n∈N*).若数列{an}的各项和为-
8
3
a
,则a=______.
题型:闵行区一模难度:| 查看答案
若数列an的通项公式an=
3-n[1+(-1)n]
2
,(n∈N*),则该数列的前n项和Sn=______.
题型:杭州一模难度:| 查看答案
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