已知函数f(x)=x2x+1,数列{an}满足a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设

已知函数f(x)=x2x+1,数列{an}满足a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设

题型:北京模拟难度:来源:
已知函数f(x)=
x
2x+1
,数列{an}满足a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设bn=an•an+1,求数列{bn}的前n项和Sn,并比较Sn
n
2n+18
答案
(Ⅰ)a1=f(1)=
1
2+1
=
1
3
,a2=f(a1)=f(
1
3
)=
1
3
2
3
+1
=
1
5

(Ⅱ)∵an+1=
an
2an+1

1
an+1
=
2an+1
an
=2+
1
an

1
an+1
-
1
an
=2

∵a1=
1
3
,∴
1
a1
=3
∴数列{
1
an
}
是首项为3,公差为2的等差数列,
1
an
=2n+1

an=
1
2n+1

(Ⅲ)bn=anan+1=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)

Sn=
1
2
(
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n+1
-
1
2n+3
)=
n
6n+9

n=1时,S1=
1
15
n
2n+18
=
1
20
,Sn大于
n
2n+18

n=2时,S2=
2
21
n
2n+18
=
1
11
,Sn大于
n
2n+18

n=3时,S3=
1
9
n
2n+18
=
3
26
,Sn小于
n
2n+18

n=4时,S4=
4
33
n
2n+18
=
2
17
,Sn大于
n
2n+18

猜想n≥4时,Sn大于
n
2n+18

证明如下:①n=4时,S4=
4
33
n
2n+18
=
2
17
,Sn大于
n
2n+18
,结论成立;
②假设n=k时,结论成立,即
k
6k+9
k
2k+18
,∴2k>6k-9
n=k+1时,有2k+1+18>2(6k-9)+18>6(k+1)+9,
k+1
6(k+1)+9
k+1
2k+1+18
,结论成立
由①②可知,结论成立.
举一反三
已知数列{an} 中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N).
(1)写出a2、a3的值(只写结果)并求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,求bn的最大值.
题型:广东模拟难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,若前11项和S11=11,则a2+a5+a7+a10=(  )
A.5B.6C.4D.8
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}的通项公式为an=
1


n
+


n+1
,其前n项之和为10,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x),g(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对任意x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),g(x)+g(y)=g(x+y),若a1=
1
2
an=f(n)(n∈N*)
,且b1=1,bn=g(n)(n∈N*),则数列{anbn}的前n项和为Sn为(  )
A.
n(n+1)
2
B.n+1-
1
2n
C.
3n
2
D.2-
n+2
2n
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知公比不为1的等比数列{an}的首项为1,若3a1,2a2,a3成等差数列,则数列{
1
an
}的前5项和为(  )
A.
121
81
B.
31
16
C.121D.31
题型:葫芦岛模拟难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.